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Fonctions de référence

I – Définitions et vocabulaire

Définition: Fonction affine
Soient p et r deux réels donnés. La fonction f : x \longrightarrow px + r s’appelle une fonction affine

Exemple : f : x \longrightarrow 2x + 3 dont la courbe représentative est la courbe ci-ontre.

 

 

 

 

 

 

 

Propriétés
  • Le domaine de définition des fonctions affines est \mathbb{R}.
  • Les fonctions affines sont monotones (voir plus bas).
  • La courbe représentative d’une fonction affine est une droite (voir plus bas).
Propriété : monotonie
Soit la fonction affine f : x \longrightarrow px + r, p et q étant deux réels donnés.

  • si p > 0 alors f est strictement croissante.
  • si p < 0 alors f est strictement décroissante.
  • si p = 0 alors f est constate : pour tout réel x, f(x) = r.

Démonstrations :

On suppose que p > 0

Soit u et v deux réels tels que u < v. Alors pu < pv car p > 0. Donc pu + r < pv + r. On en conclut que f(u) < f(v). La fonction f est strictement croissante.

On suppose que p < 0

Soit u et v deux réels tels que u < v. Alors pu > pv car p < 0 et on sait que multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, inverse le sens de l’inégalité. Donc pu + r > pv + r. On en conclut que f(u) > f(v). La fonction f est strictement décroissante.

On suppose que p = 0. Alors pour réel x, f(x) = px + r = r. f est bien une fonction constante et sa courbe représentative est une droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0;r).

Propriété : Signe d'une fonction affine
Soit la fonction affine f : x \longrightarrow px + r, p et q étant deux réels donnés.