I – Définitions et vocabulaire

Définition : Fonction affine

Soient $p$ et $r$ deux réels donnés. La fonction $f : x \longrightarrow px + r$ s’appelle une fonction affine

Exemple : $f : x \longrightarrow 2x + 3$ dont la courbe représentative est la courbe ci-ontre.

Remarque : Le domaine de définition de toutes les fonctions affines est $\mathbb{R}$ .

Propriété : monotonie

Soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ , $p$ et $q$ étant deux réels donnés.

si $p > 0$ alors $f$ est strictement croissante.
si $p < 0$ alors $f$ est strictement décroissante.
si $p = 0$ alors $f$ est constate : pour tout réel $x, f(x) = r$ .

Démonstrations :

On suppose que $p > 0$

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$ . Alors $pu < pv$ car $p > 0$ . Donc $pu + r < pv + r$ . On en conclut que $f(u) < f(v)$ . La fonction $f$ est strictement croissante.

On suppose que $p < 0$

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$ . Alors $pu > pv$ car $p < 0$ et on sait que multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, inverse le sens de l’inégalité. Donc $pu + r > pv + r$ . On en conclut que $f(u) > f(v)$ . La fonction $f$ est strictement décroissante.

On suppose que $p = 0$ . Alors pour réel $x, f(x) = px + r = r$ . $f$ est bien une fonction constante et sa courbe représentative est une droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;r)$ .

Exemple :

$f(x)=0,5x-1$	$f(x)=-0,5x+1$	$f(x)=1$

Propriété : Taux d'accroissement

Soient $p$ et $r$ deux réels donnés et soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ . Quels que soient les réels $a$ et $b$ , $\dfrac{f(a) - f(b)}{a - b}$ est constant et égal à $p$ . Le nombre $p$ est le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ .

Démonstration :

Soient deux réels différents $a$ et $b$ .

$f(a) = pa + r$

$f(b) = pb + r$ .

$f(a) - f(b) = pa + r - (pb + r) = pa + r -pb - r = pa - pb = p(a - b)$

$\dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} = \dfrac{p(a - b)}{a -b } = p$ .

Propriété

La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.

Démonstration :

Soient $p$ et $r$ deux réels donnés et soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$

Soient trois réels $a$ , $b$ et $c$ , tels que $a < b < c$ .

Les points $A(a ; f(a))$ , $B(b ; f(b))$ et $C(c ; f(c))$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction affine $f$ .

Pour démontrer que la courbe représentative de $f$ est une droite, il suffit de montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Pour cela démontrer cette égalité de distance : $AC = AB + BC$ à l’aide du théorème de Pythagore.

On rappelle un calcul utilisé dans la démonstration précédente : $f(b) - f(a) = p(b - a)$

$AB^2 = AD^2 + DB^2 = (b - a)^2 + (f(b) - f(a))^2 = (b - a)^2 + (p(b-a))^2 = (b - a)^2 + p^2(b-a)^2 = (1 + p^2)(b - a)^2$

Par conséquent $AB = \sqrt{(1 + p^2)(b - a)^2} = \sqrt{1 + p^2} \sqrt{(b - a)^2} = \sqrt{1 + p^2} \vert b - a \vert$ .

Comme $a < b$ , alors $b - a > 0$ , donc $\vert b - a \vert = b - a$

Finalement $AB = \sqrt{1 + p^2} (b - a)$ .

On démontre de la même façon que $BC = \sqrt{1 + p^2} (c - b)$ et $AC = \sqrt{1 + p^2} (c - a)$ .

$AB + BC = \sqrt{1 + p^2} (b - a) + \sqrt{1 + p^2} (c - b) = \sqrt{1 + p^2} (b - a + c - b) = \sqrt{1 + p^2} (c - a) = AC$

Vocabulaire

Soient $p$ et $r$ deux réels donnés et soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ .

Le nombre réel $p$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite représentative de la fonction affine.

Cela nous permet de retrouver un langage familier :

si la pente de la droite est positive (elle monte), alors la fonction affine est strictement croissante.
si la pente de la droite est négative (elle descend), alors la fonction affine est strictement décroissante.
Si la pente est nulle, la droite est horizontale et la fonction affine est constante.

Propriété : Valeurs remarquables pour une fonction affine

Soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ , $p$ et $q$ étant deux réels donnés.

$f(0) = r$
$f \left ( - \dfrac{r}{p} \right ) = 0$

Interprétation graphique : la droite représentative de la fonction affine $f$ coupe

l’axe des ordonnées au point de coordonnées $A(0 ; r)$
l’axe des abscisses au point de coordonnées $B(- \dfrac{r}{p} ; 0)$

Démonstrations :

$f(0) = p \times 0 + r = r$

$f(x) = 0 \iff px + r = 0 \iff px = -r\iff x = - \dfrac{r}{p}$

Exemple : En utilisant la représentation graphique d’une fonction affine, on va retrouver la définition de cette fonction.

Soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ , $p$ et $q$ étant deux réels donnés, associée à cette droite.

Le point de coordonnées $(0 ; 3)$ appartient à cette droite., donc $f(0) = 3$ . Or nous savons que $f(0) = r$ . Par conséquent $r = 3$ .

Nous savons que la fonction s’annule pour $x=- \dfrac{r}{p}$ . Or la droite coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(1,5 ; 0)$ . Par conséquent $- \dfrac{r}{p} = 1,5$ .

Comme $r = 3$ , il vient $- \dfrac{3}{p} = 1,5$ , soit $-3 = 1,5p$ donc $p= - \dfrac{3}{1,5} = -2$ .

Conclusion : la fonction $f$ est définie par $x \longrightarrow -2x + 3$ .

II – Fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction affine dont la définition ne possède pas de terme constant.

Autrement dit, la définition d’une fonction linéaire est de la forme : $f : x \longrightarrow px$ , où $p \in \mathbb{R}$ .

Propriété

La droite représentative d’une fonction linéaire passe par l’origine du repère.

Démonstration : Soit la fonction linéaire définie par : $x \longrightarrow px$ , où $p \in \mathbb{R}$ . Alors $f(0)=p \times 0 = 0$ .

Exemple : $f : x \longrightarrow 2x$

III – Signe d’une fonction affine

Soient $p$ et $r$ deux réels donnés et soit la fonction affine $f : x \longrightarrow px + r$ .

Nous savons que $f \left ( - \dfrac{r}{p} \right ) = 0$ , Interprétation graphique : la droite représentative de $f$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $- \dfrac{r}{p}$ .

Donc $f(x)$ change de signe de part et d’autre de ce point. Ce qui donne les résultats suivants :

$p > 0$	La fonction affine est croissante
$p < 0$	La fonction affine est décroissante
$p = 0$	La fonction affine est constante : $f(x) = r$	La fonction $f$ est du signe de $r$

Remarque : on retrouve ainsi les résultats sur le signe d’un expression du premier degré.

IV – Signe du produit d’expressions du premier degré

Étant données quatre nombres réels $a, b, c, d$ , on veut déterminer le signe de l’expression $(ax+b)(cx+d)$ .

Méthode

On étudie le signe de l’expression $ax + b$
On étudie le signe de l’expression $cx + d$
On rassemble toutes les résultats obtenus dans un même tableau
Le signe du produit $(ax+b)(cx+d)$ s’obtient à l’aide de la règle des signes.

Exemple : Étude du signe de $(2x+4)(3-x)$

Signe de $2x+4$

Signe de $3-x$

Signe de $(2x+4)(3-x)$

La première ligne contient les deux valeurs de $x$ qui annule les deux expressions

Interprétation : Le tableau précédent nous permet d’écrire que $(2x+4)(3-x) \ge 0$ si $x \in [-2 ; 3]$

V – Signe du quotient d’expressions du premier degré

Étant données quatre nombres réels $a, b, c, d$ , on veut déterminer le signe de l’expression $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ .

Méthode

Même méthode que pour le signe d’un produit
On place une double barre en dessous de la valeur de $x$ qui annule le dénominateur $cx+d$ , c’est-à-dire pour $x = -\dfrac{d}{c}$

Exemple : Étude du signe de $\dfrac{2x-3}{1-2x}$

On a placé une double barre sous $\dfrac{1}{2}$ pour indiquer que le quotient n’est pas défini pour cette valeur qui annule son dénominateur.

Interprétation : Le tableau précédent nous permet d’écrire que $\dfrac{2x-3}{1-2x} \ge 0$ si $x \in ]\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2}]$ . Attention, le crochet est ouvert du côté de $\dfrac{1}{2}$ .

Fonctions affines

I – Définitions et vocabulaire

II – Fonctions linéaires

III – Signe d’une fonction affine

IV – Signe du produit d’expressions du premier degré

V – Signe du quotient d’expressions du premier degré

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