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Fonctions (dérivées, intégration, équations différentielles)

    \[ (f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}} \]

Développement limité d’ordre 1 :

    \[ f \text{ d\'{e}rivable en } a \iff \exists \text{ fonction } \varepsilon , \lim_{x \to a} \varepsilon(x), f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a) \varepsilon(x) \]

Le DL d’ordre 1 permet de prévoir la position de la courbe par rapport à sa tangente.

Pour ce qui suit, on suppose que f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Théorème de Rolle : f(a) = f(b) \implies \exists c \in \ ]a,b[, f'(c)=0

Théorème des accroissements finis : \exists c \in ]a,b[, f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)

Inégalité des accroissements finis :

  • Si \exists k tel que \forall x \in ]a,b[, \lvert f'(x) \rvert \le k alors \lvert f(b)-f(a) \rvert \le k\lvert b-a \rvert
  • Si \exists m et n tels que \forall x \in ]a,b[, m \le f'(x) \le M, alors m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)

Cette inégalité reste valable pour les fonctions complexes. Faux pour Rolle.

Formule de Leibniz : nième dérivée d’un produit de fonctions

    \[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \]

DÉRIVÉEES USUELLES

    \[ \sin'(x) = \cos(x) = \sin(x + \dfrac{\pi}{2}) \qquad \qquad \cos'(x) = -\sin(x) = \cos(x + \dfrac{\pi}{2}) \qquad \qquad \tan'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \]

    \[ \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \qquad \qquad \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\arccos'(x) \]

    \[ \text{sh}'(x) = \text{ch}(x) \qquad \qquad \text{ch}'(x) = \text{sh}(x) \qquad \qquad \text{th}'(x) = \dfrac{1}{\text{ch}^2 x} = 1 - \text{th}^2 x \]

    \[ \text{argsh}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \qquad \qquad \text{argch}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \qquad \qquad \text{argsth}'(x) = \dfrac{1}{1 - x^2} \]

CONVEXITÉ

f convexe sur I \iff \forall (a,b) \in I^2, \forall t \in [0,1], f(ta+(1-t)b) \le tf(a)+(1-t)f(b)

f concave \iff -f convexe

f convexe sur I \iff \forall (a,b) \in I^2, a < b, \forall x \in [a,b], f(x) \le f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)

f' croissante sur I \implies f convexe sur I et \forall (a,x) \in I^2, f(x) \ge f(a) + f'(a)(x-a)

f''(x) \ge 0 sur I \implies f convexe

CALCUL INTÉGRAL ET PRIMITIVES

Dans ce qui suit on suppose que f et g sont continues sur [a;b].

    \[ f \text{ positive sur }[a;b] \qquad \qquad \int_a^b f(t)dt = 0 \implies f = 0 \]

    \[ \inf_{[a;b]} f \le \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(t)dt \le \sup_{[a;b]} f \qquad \qquad \exists c \in [a;b] , f(c) = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(t)dt \]

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

    \[ \left \lvert \int_a^b f(t)g(t)dt \right \rvert \le \sqrt{ \int_a^b f(t)^2dt \int_a^b g(t)^2dt} \]

Somme de Riemann

    \[ \text{A gauche : } s_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left (a + k\dfrac{b-a}{n} \right ) \qquad \qquad \text{A droite : } S_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (a + k\dfrac{b-a}{n} \right ) \]

    \[ \lim s_n(f) = \lim S_n(f) = \int_a^b f(t)dt \]

f continue sur l’intervalle I, u et v dérivables sur l’intervalle J à valeurs dans I. La fonction G définie sur J par :

    \[ G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt \qquad \qquad \text{alors } G \text{ est dérivable sur } J, \qquad G'(x) = v(x)(f \circ v)(x) - u'(x)(f \circ u)(x) \]

Quelques méthodes de calcul d’intégrales

Si f est composée de fonctions circulaires, on pose la pseudo fonction g(x) = f(x)dx. Changement de variable à tenter :

    \[ g(-x) = g(x) \longrightarrow t = \cos x \qquad \qquad g(\pi-x) = g(x) \longrightarrow t = \sin x \]

    \[ g(\pi+x) = g(x) \longrightarrow t = \tan x \qquad \qquad \text{Sinon } t = \tan \dfrac{x}{2} \]

    \[ \int \cdots e^x \cdots \longrightarrow t = e^x \qquad \qquad \int \cdots \sqrt{ \dfrac{ax+b}{cx+d}} \cdots \longrightarrow t = \sqrt{ \dfrac{ax+b}{cx+d}}  \]

    \[ \int \cdots \sqrt{ax^2 + bx + c} \cdots , a<0, \Delta > 0 \longrightarrow \text{ forme canonique pour tenter } t = \sin x \]

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Premier degré

y' + a(x)y = b(x) \qquad A une primitive de a. \qquad La solution générale de l’équation homogène : y(x) = \lambda e^{-A(x)} \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Solution particulière de l’équation avec le second membre : on fait varier \lambda.

Second degré

    \[ \text{Dans }\mathbb{C} \qquad y" + ay' + by = f(x) \qquad (a,b) \in \mathbb{C}^2  \]

    \[ \text{La solution g\'en\'erale de l'\'equation homog\`ene est : } y(x) = \left \lbrace \begin{array}{lr} \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2}x  &  a^2 - 4b \ne 0 \\ (\lambda x + \mu) e^{rx}  &  a^2 - 4b = 0 \end{array} \right \rbrace (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 \]

    \[ \text{Dans }\mathbb{R} \qquad y" + ay' + by = f(x) \qquad (a,b) \in \mathbb{R}^2  \]

    \[ \text{La solution g\'en\'erale de l'\'equation homog\'ene est : } y(x) = \left \lbrace \begin{array}{lr} \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2}x  &  a^2 - 4b > 0 \\ (\lambda x + \mu) e^{rx}  &  a^2 - 4b = 0 \\ e^{\alpha x} (\lambda \cos (\beta x) + \mu \sin(\beta x)) & a^2 - 4b < 0 \end{array} \right \rbrace (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2 \]

    \[ \text{Solution particuli\'ere si } f(x) = Ae^{\gamma x} \qquad \left \lbrace \begin{array}{lr} B e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{ n'est pas solution de l'\'equation caractéristique.} \\ B x e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{solution simple de l'\'equation caractéristique.} \\ B x^2 e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{ solution double de l'\'equation caractéristique.} \end{array} \right . \]

Solution particulière si le second membre est A \cos(\gamma x), A \sin(\gama x). On passe aux exponentielles complexes pour revenir au cas précédent, puis on prend la partie réelle ou imaginaire.