Fonctions (dérivées, intégration, équations différentielles)

$(f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$

Développement limité d’ordre 1 :

$f \text{ d\'{e}rivable en } a \iff \exists \text{ fonction } \varepsilon , \lim_{x \to a} \varepsilon(x), f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a) \varepsilon(x)$

Le DL d’ordre 1 permet de prévoir la position de la courbe par rapport à sa tangente.

Pour ce qui suit, on suppose que $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ .

Théorème de Rolle : $f(a) = f(b) \implies \exists c \in \ ]a,b[, f'(c)=0$

Théorème des accroissements finis : $\exists c \in ]a,b[, f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$

Inégalité des accroissements finis :

Si $\exists k$ tel que $\forall x \in ]a,b[, \lvert f'(x) \rvert \le k$ alors $\lvert f(b)-f(a) \rvert \le k\lvert b-a \rvert$
Si $\exists m$ et $n$ tels que $\forall x \in ]a,b[, m \le f'(x) \le M$ , alors $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

Cette inégalité reste valable pour les fonctions complexes. Faux pour Rolle.

Formule de Leibniz : n^ième dérivée d’un produit de fonctions

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$

DÉRIVÉEES USUELLES

$\sin'(x) = \cos(x) = \sin(x + \dfrac{\pi}{2}) \qquad \qquad \cos'(x) = -\sin(x) = \cos(x + \dfrac{\pi}{2}) \qquad \qquad \tan'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

$\arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \qquad \qquad \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\arccos'(x)$

$\text{sh}'(x) = \text{ch}(x) \qquad \qquad \text{ch}'(x) = \text{sh}(x) \qquad \qquad \text{th}'(x) = \dfrac{1}{\text{ch}^2 x} = 1 - \text{th}^2 x$

$\text{argsh}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \qquad \qquad \text{argch}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \qquad \qquad \text{argsth}'(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$

CONVEXITÉ

$f$ convexe sur $I \iff \forall (a,b) \in I^2, \forall t \in [0,1], f(ta+(1-t)b) \le tf(a)+(1-t)f(b)$

$f$ concave $\iff -f$ convexe

$f$ convexe sur $I \iff \forall (a,b) \in I^2, a < b, \forall x \in [a,b], f(x) \le f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$

$f'$ croissante sur $I \implies f$ convexe sur $I$ et $\forall (a,x) \in I^2, f(x) \ge f(a) + f'(a)(x-a)$

$f''(x) \ge 0$ sur $I \implies f$ convexe

CALCUL INTÉGRAL ET PRIMITIVES

Dans ce qui suit on suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a;b]$ .

$f \text{ positive sur }[a;b] \qquad \qquad \int_a^b f(t)dt = 0 \implies f = 0$

$\inf_{[a;b]} f \le \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(t)dt \le \sup_{[a;b]} f \qquad \qquad \exists c \in [a;b] , f(c) = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(t)dt$

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\left \lvert \int_a^b f(t)g(t)dt \right \rvert \le \sqrt{ \int_a^b f(t)^2dt \int_a^b g(t)^2dt}$

Somme de Riemann

$\text{A gauche : } s_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left (a + k\dfrac{b-a}{n} \right ) \qquad \qquad \text{A droite : } S_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (a + k\dfrac{b-a}{n} \right )$

$\lim s_n(f) = \lim S_n(f) = \int_a^b f(t)dt$

$f$ continue sur l’intervalle $I$ , $u$ et $v$ dérivables sur l’intervalle $J$ à valeurs dans $I$ . La fonction $G$ définie sur $J$ par :

$G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt \qquad \qquad \text{alors } G \text{ est dérivable sur } J, \qquad G'(x) = v(x)(f \circ v)(x) - u'(x)(f \circ u)(x)$

Quelques méthodes de calcul d’intégrales

Si $f$ est composée de fonctions circulaires, on pose la pseudo fonction $g(x) = f(x)dx$ . Changement de variable à tenter :

$g(-x) = g(x) \longrightarrow t = \cos x \qquad \qquad g(\pi-x) = g(x) \longrightarrow t = \sin x$

$g(\pi+x) = g(x) \longrightarrow t = \tan x \qquad \qquad \text{Sinon } t = \tan \dfrac{x}{2}$

$\int \cdots e^x \cdots \longrightarrow t = e^x \qquad \qquad \int \cdots \sqrt{ \dfrac{ax+b}{cx+d}} \cdots \longrightarrow t = \sqrt{ \dfrac{ax+b}{cx+d}}$

$\int \cdots \sqrt{ax^2 + bx + c} \cdots , a<0, \Delta > 0 \longrightarrow \text{ forme canonique pour tenter } t = \sin x$

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Premier degré

$y' + a(x)y = b(x) \qquad A$ une primitive de $a. \qquad$ La solution générale de l’équation homogène : $y(x) = \lambda e^{-A(x)} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$

Solution particulière de l’équation avec le second membre : on fait varier $\lambda$ .

Second degré

$\text{Dans }\mathbb{C} \qquad y" + ay' + by = f(x) \qquad (a,b) \in \mathbb{C}^2$

$\text{La solution g\'en\'erale de l'\'equation homog\`ene est : } y(x) = \left \lbrace \begin{array}{lr} \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2}x & a^2 - 4b \ne 0 \\ (\lambda x + \mu) e^{rx} & a^2 - 4b = 0 \end{array} \right \rbrace (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$

$\text{Dans }\mathbb{R} \qquad y" + ay' + by = f(x) \qquad (a,b) \in \mathbb{R}^2$

$\text{La solution g\'en\'erale de l'\'equation homog\'ene est : } y(x) = \left \lbrace \begin{array}{lr} \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2}x & a^2 - 4b > 0 \\ (\lambda x + \mu) e^{rx} & a^2 - 4b = 0 \\ e^{\alpha x} (\lambda \cos (\beta x) + \mu \sin(\beta x)) & a^2 - 4b < 0 \end{array} \right \rbrace (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$

$\text{Solution particuli\'ere si } f(x) = Ae^{\gamma x} \qquad \left \lbrace \begin{array}{lr} B e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{ n'est pas solution de l'\'equation caractéristique.} \\ B x e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{solution simple de l'\'equation caractéristique.} \\ B x^2 e^{\gamma x} & \text{ si } \gamma γ \text{ solution double de l'\'equation caractéristique.} \end{array} \right .$

Solution particulière si le second membre est $A \cos(\gamma x), A \sin(\gama x)$ . On passe aux exponentielles complexes pour revenir au cas précédent, puis on prend la partie réelle ou imaginaire.