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Fonctions (limites et continuité)

APPLICATIONS

Soient f : E \longrightarrow F \qquad A \subset E \qquad B \subset F

    \[ A \subset f^{-1} (f(A)) \qquad \qquad f(f^{-1}(B) \subset B \qquad \qquad f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2) \]

    \[ f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1} (B_1) \cup f^{-1} (B_2) \qquad \qquad f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2) \]

Remarque : Si f est injective alors la dernière inclusion est une égalité.

Cas particulier : E et F sont des ensembles finis.

    \[ f \text{ injective } \implies card E \le card F \qquad \qquad f \text{ surjective } \implies card E \ge card F \qquad \qquad f \text{ bijective } \implies card E = card F \]

    \[ card E = card F \implies ( f \text{ injective } \iff f \text{ surjective } \iff f \text{ bijective }) \]

Si card E = n et card F = p alors

  • Le nombre d’applications différentes de E dans F est p^n
  • Le nombre d’injections de E dans F est p(p-1)…(p-(n-1))
  • Le nombre de bijections de E dans F est n!=p!

MONOTONIE

  • La somme de deux fonctions (dé)croissantes est une fonction (dé)croissante.
  • Le produit de deux fonctions croissantes et positives est une fonction croissante.
  • La composée de deux fonctions croissantes ou de deux fonctions décroissantes est une fonction croissante.
  • La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est une fonction décroissante.
  • Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective.

COURBES REPRÉSENTATIVES ET SYMÉTRIE

Soit une fonction f dont la courbe représentative est C_f.

  • La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de C_f si et seulement si \forall x \in D_f, f(a+x)=f(a-x).
  • Le point de coordonnées (a,b) est un centre de symétrie de C_f si et seulement si \forall x \in D_f, f(a+x)+f(a-x)=2b.

Dit autrement : on définit les fonctions suivantes : \qquad g : x \longrightarrow f(x+a) \qquad \qquad h : x \longrightarrow f(x+a)-b

  • La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de C_f si et seulement si la fonction g est paire.
  • Le point de coordonnées (a,b) est un centre de symétrie de C_f si et seulement si la fonction h est impaire.

LIMITES

    \[ \text{Soient} f : I \longrightarrow \mathbb{R} \qquad a \in \bar{I} \quad \lim_{x \to a} f(x)= l \]

Si l \in \mathbb{R} alors f est bornée au voisinage de a. Si de plus l est non nul alors f garde le signe de l et ne s’annule pas au voisinage de a.

Si l = +\infty alors f est strictement positive et non majorée au voisinage de a.

    \[ \lim_{x \to a} g(x)= 0 \qquad \text{ et } \qquad \lvert f(x) - l \rvert \le g(x) \qquad \text{ alors } \qquad \lim_{x \to a} f(x) = l \]

Théorème de la limite monotone : f définie et monotone sur ]a,b[ \subset \bar{\mathbb{R}} alors \forall c \in ]a,b[, f admet une limite à gauche et à droite en c.

LIMITES USUELLES

    \[ \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1} = 1 \qquad \qquad \lim_{x \to 0+} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 1 \qquad \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \]

    \[ a > 1, b > 0, c > 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{a^x}{x^b} = +\infty \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^b}{\ln^c x} = +\infty \]

    \[ a > 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^a}{e^x} = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^a} = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to -\infty} \lvert x \rvert ^a e^x = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to 0+} x^a \ln(x) = 0 \]

Asymptotes et branches paraboliques :

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= a \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x)-ax = b \qquad \text{alors} \qquad y=ax+b \qquad \text{est une asymptote de } f. \]

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty \qquad \text{alors f admet une branche parabolique horizontale} \]

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= a \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) - ax = \pm\infty \qquad \text{alors f admet une branche parabolique parallèle à }y=ax \]

Remarque : les réciproques de ces trois implications sont vraies.

CONTINUITÉ

Continuité et limite de suite.
Soit a adhérent à D_f.

    \[ \lim_{x \to a}f(x) = l \iff \text{ Pour toute suite } (x_n) \text{ de } D_f \text{ convergeant vers }a, (f(x_n)) \text{ converge vers }f(a). \]

    \[ f \text{ est continue en }a \iff \text{ Pour toute suite }(x_n) \text{ de } D_f \text{ convergeant vers }a, (f(x_n)) \text{ converge vers }f(a). \]

Théorème de Bolzano : f continue sur [a,b], f(a)f(b)<0 \implies \exists c \in ]a,b[,f(c)=0

Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur I,[a,b] \subset I et soit k compris entre f(a) et f(b) alors \exists c \in [a,b] tel que f(c)=k. Le nombre c est unique si f est strictement monotone sur [a,b].

Théorème de Weierstrass : f continue sur I, [a,b] \subset I. Alors \exists (c_1,c_2) \in [a,b]^2 tels que \forall x \in [a,b], f(c_1) \le f(x) \le f(c_2). Autrement dit, toute fonction continue sur un intervalle y est bornée et atteint ses bornes.

Conséquence : l’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.

Autres propriétés :

  • Si l’image d’un intervalle par une fonction monotone est un intervalle, alors la fonction est continue sur cet intervalle.
  • Une fonction injective et continue sur un intervalle est strictement monotone.

ÉQUIVALENCES

Notations de Landau

f et g sont des fonctions définies sur I. a \in \bar{I}. g ne s’annule pas au voisinage de a sauf éventuellement en a.

    \[ f \text{ domin\'ee par } g \text{ en } a : \quad \dfrac{f}{g} \text{ born\'ee au voisinage de } a : \quad f(x) \underset{a}{=} O(g(x)) \]

    \[ f \text{ n\'egligeable devant } g \text{ en } a : \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f}{g} = 0 : \quad f(x) \underset{a}{=} o(g(x)) \]

    \[ f \text{ \'equivalent \`a } g : \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f}{g} = 1 : \quad f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \]

Équivalences

    \[ e^x \underset{0}{\approx} 1+x  \qquad \qquad \ln (1+x) \underset{0}{\approx} x \qquad \qquad \ln x \underset{1}{\approx} x-1  \]

    \[ \sin x \underset{0}{\approx} x  \qquad  \qquad \tan x \underset{0}{\approx} x \qquad  \qquad \cos x \underset{0}{\approx} 1-\dfrac{x^2}{2}  \]

    \[ \arcsin x \underset{0}{\approx} x  \qquad  \qquad \arctan x \underset{0}{\approx} x \]

Propriétés

    \[ f_1(x) \underset{a}{\approx} f(x) \text{ et } g_1(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text{ et } f(x) \underset{a}{=} o(g(x)) \text{ alors } f_1(x) \underset{a}{=} o(g_1(x)) \]

    \[ f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text { et } f \text{ est positive au voisinage de } a \text { alors } g \text{ est positive au voisinage de } a \]

    \[ f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text { et } f \text{ est positive au voisinage de } a \text { alors dans un voisinage de } a, g(x) > \dfrac{f(x)}{2} >= 0 \]

    \[ f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \implies f(x)-g(x) \underset{a}{=} o(g(x)) \]