APPLICATIONS
Soient
Remarque : Si est injective alors la dernière inclusion est une égalité.
Cas particulier : et
sont des ensembles finis.
Si et
alors
- Le nombre d’applications différentes de
dans
est
- Le nombre d’injections de
dans
est
- Le nombre de bijections de
dans
est
MONOTONIE
- La somme de deux fonctions (dé)croissantes est une fonction (dé)croissante.
- Le produit de deux fonctions croissantes et positives est une fonction croissante.
- La composée de deux fonctions croissantes ou de deux fonctions décroissantes est une fonction croissante.
- La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est une fonction décroissante.
- Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective.
COURBES REPRÉSENTATIVES ET SYMÉTRIE
Soit une fonction dont la courbe représentative est
.
- La droite d’équation
est un axe de symétrie de
si et seulement si
.
- Le point de coordonnées
est un centre de symétrie de
si et seulement si
.
Dit autrement : on définit les fonctions suivantes :
- La droite d’équation
est un axe de symétrie de
si et seulement si la fonction
est paire.
- Le point de coordonnées
est un centre de symétrie de
si et seulement si la fonction
est impaire.
LIMITES
Si alors f est bornée au voisinage de a. Si de plus l est non nul alors f garde le signe de l et ne s’annule pas au voisinage de a.
Si alors f est strictement positive et non majorée au voisinage de a.
Théorème de la limite monotone : f définie et monotone sur alors
, f admet une limite à gauche et à droite en c.
LIMITES USUELLES
Asymptotes et branches paraboliques :
Remarque : les réciproques de ces trois implications sont vraies.
CONTINUITÉ
Continuité et limite de suite.
Soit adhérent à
.
Théorème de Bolzano : continue sur
Théorème des valeurs intermédiaires : continue sur
et soit
compris entre
et
alors
tel que
. Le nombre
est unique si
est strictement monotone sur
.
Théorème de Weierstrass : continue sur
. Alors
tels que
. Autrement dit, toute fonction continue sur un intervalle y est bornée et atteint ses bornes.
Conséquence : l’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
Autres propriétés :
- Si l’image d’un intervalle par une fonction monotone est un intervalle, alors la fonction est continue sur cet intervalle.
- Une fonction injective et continue sur un intervalle est strictement monotone.
ÉQUIVALENCES
Notations de Landau
et
sont des fonctions définies sur
.
.
ne s’annule pas au voisinage de
sauf éventuellement en
.
Équivalences
Propriétés