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Espaces vectoriels

E \ne \O muni d’une loi de composition interne + et d’une loi de composition externe * à opérateurs dans \mathbb{K}.
(E,+,*) est un \mathbb{K}-espace vectoriel si et seulement si :

  • (E,+) est un groupe commutatif
  • \forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2, \quad \forall (x,y) \in E^2 :
    • (\lambda + \mu)*x = \lambda*x + \mu*x
    • \lambda*(x+y) = \lambda*x + \mu*y
    • (\lambda \mu)*x = \lambda*(\mu*x)
    • 1*x = x

Algèbre

(A,+,*,\times) est une \mathbb{K}-algèbre si et seulement si

  • (A,+,*) est un \mathbb{K}-espace vectoriel
  • (A,+,\times) est un anneau
  • \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \forall (x,y) \in A^2, \quad \lambda * (x \times y) = (\lambda * x) \times y = x \times (\lambda * y)

SOUS-ESPACES VECTORIELS (SEV)

F est un sous-espace vectoriel de (E,+,*) si et seulement si :

  • 0_E \in F
  • F stable par + et par * ou par combinaison linéaire

L’intersection de deux SEV de E est un SEV de E.

SEV engendré : Soient (x_1,x_2, \dots ,x_p ) \in E^p,

    \[ \text{Vect} (x_1,x_2, \dots ,x_p ) = \left \{ \sum_{k=1}^p \lambda_k x_k, (\lambda_1,\lambda_2, \dots ,\lambda_p ) \in \mathbb{K}^p} \right \} \]

est le SEV engendré par la famille finie des vecteurs (x_1,x_2, \dots ,x_p ).

Somme de SEV

    \[ F + G = \{ x + y , x \in F , y \in G \} \]

F+G est le plus petit SEV de E contenant F et G : F + G = \text{Vect} (F \cup G).

Somme directe de SEV

    \[ \text{F + G est une somme directe } (F \oplus G) \iff \forall w \in F + G, \quad \exists ! (u , v) \in F \times G, \quad w = u + v \]

    \[ \text{F + G est une somme directe } (F \oplus G) \iff F \cap G = \{ \O \} \iff ( \forall (x,y) \in F \times G, x+y=0 \implies x=y=0) \]

F et G sont deux SEV supplémentaires dans E si et seulement si F \oplus G = E.
Deux SEV supplémentaires d’un même troisième SEV sont isomorphes.

Familles libres, liées, génératrices, bases

    \[ (x_1,x_2, \dots ,x_p ) \text{ famille libre et } (x_1,x_2, \dots ,x_p, v) \text{ famille li\'ee } \iff v \in \text{Vect} (x_1,x_2, \dots ,x_p ) \]

    \[ (x_1,x_2, \dots, x_p ) \text{ famille g\'en\'eratrice de } E \iff E = \text{Vect} (x_1,x_2, \dots, x_p ) \]

    \[ (f_1,f_2, \dots, f_p) \text{ base de F et } (g_1,g_2, \dots, g_q) \text{ base de G } \implies (f_1,f_2, \dots, f_p,g_1,g_2, \dots, g_q) \text{ base de } F \oplus G \]

    \[ (e_1,e_2, \dots, e_n) \text{ base de } E \implies \forall k \in [\![1,n-1]\!] \quad E = \text{Vect} (e_1,e_2, \dots, e_k ) \; \oplus \text{Vect} \; (e_{k+1},e_{k+2}, \dots, e_n ) \]

ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie n.

Théorème de la base incomplète : Si (e_1,e_2,\dots,e_k) est une famille libre de E, alors il existe des vecteurs e_{k+1},e_{k+2},\dots,e_n (que l’on peut prendre dans une famille génératrice quelconque fixée à l’avance) tels que (e_1,e_2,\dots,e_n) soit une base de E.

Si F est un SEV de E, alors F admet un SEV supplémentaire G dans E et dim G = dim E – dim F.

Si F et G sont deux SEV de E, alors dim F + G = dim F + dim G – dim (F \cap G).

Rang d’une famille

    \[ \text{Rang de } (u_1,u_2,\dots,u_p) = \text{ dim ⁡Vect } (u_1,u_2,\dots,u_p) = r \]

  • r \le p et r \le n
  • r = n \iff (u_1,u_2,\dots,u_p) est une famille génératrice de E
  • r = p \iff (u_1,u_2,\dots,u_p) est une famille libre de E
  • r = n = p \iff (u_1,u_2,\dots,u_p) est une base de E

HYPERPLANS ET ESPACE DUAL

Un hyperplan est un SEV qui admet une droite vectoriel pour supplémentaire.
H est un hyperplan de E si et seulement si \forall a \in E \textbackslash H, E = H \oplus \mathbb{K}a.

H est un hyperplan de E si et seulement si il existe une forme linéaire u telle que Ker u = H. Les hyperplans sont exactement les noyaux de formes linéaires non nulles définies sur E.

Espace dual

Soit B = (e_1,e_2,\dots,e_n) une base de E.
La base duale de E^* associée à B est B^* = (e_1^*,e_2^*,\dots,e_n^*) définie par \forall (i,j) \in [\![1,n]\!], \quad e_i^*(e_j) = \delta_{ij}

    \[ \text{Soit } f \in E^* \quad  \text{Alors } \quad f = \sum_{i=1}^n f(e_i)e_i^*$ \]