Espaces vectoriels

$E \ne \O$ muni d’une loi de composition interne + et d’une loi de composition externe * à opérateurs dans $\mathbb{K}$ .
$(E,+,*)$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel si et seulement si :

$(E,+)$ est un groupe commutatif
- $(\lambda + \mu)*x = \lambda*x + \mu*x$
- $\lambda*(x+y) = \lambda*x + \mu*y$
- $(\lambda \mu)*x = \lambda*(\mu*x)$
- $1*x = x$

Algèbre

$(A,+,*,\times)$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre si et seulement si

$(A,+,*)$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel
$(A,+,\times)$ est un anneau
$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \forall (x,y) \in A^2, \quad \lambda * (x \times y) = (\lambda * x) \times y = x \times (\lambda * y)$

SOUS-ESPACES VECTORIELS (SEV)

$F$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,*)$ si et seulement si :

$0_E \in F$
$F$ stable par + et par * ou par combinaison linéaire

L’intersection de deux SEV de $E$ est un SEV de $E$ .

SEV engendré : Soient $(x_1,x_2, \dots ,x_p ) \in E^p$ ,

$\text{Vect} (x_1,x_2, \dots ,x_p ) = \left \{ \sum_{k=1}^p \lambda_k x_k, (\lambda_1,\lambda_2, \dots ,\lambda_p ) \in \mathbb{K}^p} \right \}$

est le SEV engendré par la famille finie des vecteurs $(x_1,x_2, \dots ,x_p )$ .

Somme de SEV

$F + G = \{ x + y , x \in F , y \in G \}$

$F+G$ est le plus petit SEV de $E$ contenant $F$ et $G$ : $F + G = \text{Vect} (F \cup G)$ .

Somme directe de SEV

$\text{F + G est une somme directe } (F \oplus G) \iff \forall w \in F + G, \quad \exists ! (u , v) \in F \times G, \quad w = u + v$

$\text{F + G est une somme directe } (F \oplus G) \iff F \cap G = \{ \O \} \iff ( \forall (x,y) \in F \times G, x+y=0 \implies x=y=0)$

$F$ et $G$ sont deux SEV supplémentaires dans $E$ si et seulement si $F \oplus G = E$ .
Deux SEV supplémentaires d’un même troisième SEV sont isomorphes.

Familles libres, liées, génératrices, bases

$(x_1,x_2, \dots ,x_p ) \text{ famille libre et } (x_1,x_2, \dots ,x_p, v) \text{ famille li\'ee } \iff v \in \text{Vect} (x_1,x_2, \dots ,x_p )$

$(x_1,x_2, \dots, x_p ) \text{ famille g\'en\'eratrice de } E \iff E = \text{Vect} (x_1,x_2, \dots, x_p )$

$(f_1,f_2, \dots, f_p) \text{ base de F et } (g_1,g_2, \dots, g_q) \text{ base de G } \implies (f_1,f_2, \dots, f_p,g_1,g_2, \dots, g_q) \text{ base de } F \oplus G$

$(e_1,e_2, \dots, e_n) \text{ base de } E \implies \forall k \in [\![1,n-1]\!] \quad E = \text{Vect} (e_1,e_2, \dots, e_k ) \; \oplus \text{Vect} \; (e_{k+1},e_{k+2}, \dots, e_n )$

ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

On suppose que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie $n$ .

Théorème de la base incomplète : Si $(e_1,e_2,\dots,e_k)$ est une famille libre de $E$ , alors il existe des vecteurs $e_{k+1},e_{k+2},\dots,e_n$ (que l’on peut prendre dans une famille génératrice quelconque fixée à l’avance) tels que $(e_1,e_2,\dots,e_n)$ soit une base de $E$ .

Si $F$ est un SEV de $E$ , alors $F$ admet un SEV supplémentaire $G$ dans $E$ et dim $G$ = dim $E$ – dim $F$ .

Si $F$ et $G$ sont deux SEV de $E$ , alors dim $F + G$ = dim $F$ + dim $G$ – dim $(F \cap G)$ .

Rang d’une famille

$\text{Rang de } (u_1,u_2,\dots,u_p) = \text{ dim ⁡Vect } (u_1,u_2,\dots,u_p) = r$

$r \le p$ et $r \le n$
$r = n \iff (u_1,u_2,\dots,u_p)$ est une famille génératrice de $E$
$r = p \iff (u_1,u_2,\dots,u_p)$ est une famille libre de $E$
$r = n = p \iff (u_1,u_2,\dots,u_p)$ est une base de $E$

HYPERPLANS ET ESPACE DUAL

Un hyperplan est un SEV qui admet une droite vectorielle pour supplémentaire.
$H$ est un hyperplan de $E$ si et seulement si $\forall a \in E \backslash H, E = H \oplus \mathbb{K}a$ .

$H$ est un hyperplan de $E$ si et seulement si il existe une forme linéaire $u$ telle que Ker $u = H$ . Les hyperplans sont exactement les noyaux de formes linéaires non nulles définies sur $E$ .

Espace dual

L’espace dual de $E$ est noté $E^*$ . C’est le $\mathbb{K}$ -espace vectoriel des formes linéaires sur $E$ .

Soit $B = (e_1,e_2,\dots,e_n)$ une base de $E$ .
La base duale de $E^*$ associée à $B$ est $B^* = (e_1^*,e_2^*,\dots,e_n^*)$ définie par $\forall (i,j) \in [\![1,n]\!], \quad e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$