Équations de droites et systèmes d’équations

Dans ce chapitre, on se place dans un plan, un repère orthonormé (O ; I ; J) et une base orthonormée (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}).

I – Vecteur directeur d’une droite

Définition
Soient une droite d et un vecteur \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de d si et seulement s’il existe deux points A et B de d tels que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} soient colinéaires.

Exemple :

Sur la figure de droite, tous les vecteurs de couleur verte sont colinéaires au vecteur \overrightarrow{AB}. Ce sont tous des vecteurs directeurs de la droite (d).

Bien évidemment, \overrightarrow{AB} est aussi un vecteur directeur de (d).

Conséquences :

  • Une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
  • Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont colinéaires entre eux.

 

Propriété
Soient un point A et un vecteur \overrightarrow{u}. La droite passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} est l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} soient colinéaires.

Démonstration : Si \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite passant par A, alors ii existe un point B tel que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.

Soit M un point quelconque de cette droite, alors les points A, B et M sont alignés, ce qui implique que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires.

Sachant que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{u} sont colinéaires, il vient que \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.

II – Équation cartésienne d’une droite

À partir d’un exemple

Considérons la droite d passant par A(1;3) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}(1;2).

Soit M(x;y) un point quelconque de la droite d. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} sont x-1 et y-3.

Alors nous savons que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires. Donc leur déterminant est nul : 1 \times (y-3) - 2 \times (x-1) = 0.

On développe cette égalité : y - 3 -2x +2 = 0.

On la simplifie : -2x + y -1 = 0. Cette relation est l’équation cartésienne de la droite d. Cette équation est la « carte d’identité » de la droite. Tout ce que l’on peu savoir sur cette droite est contenu dans cette relation. Plus précisément elle définit qu’un point appartient à cette droite à la condition que ses coordonnées (x;y) soit une solution de l’équation.

Vérifions à l’aide de cette équation que le point A(1;3) appartient bien à d. Pour cela remplaçons dans l’équation -2x + y -1 = 0, (x;y) par (1;3) :

-2 \times 1 + 3 - 1 est bien égal à 0 dont (1;3) est bien une solution de l’équation -2x + y -1 = 0. Cela suffit pour vérifier que A est sur la droite d.

Question : Puisque cette équation est la carte d’identité de la droite, on devrait la retrouver en prenant un autre point de la droite, choisi à la place de A et en prenant un autre vecteur directeur de cette droite, choisi à la place de \overrightarrow{u}.

Soient le point B(-1;-1) de la droite d et \overrightarrow{v} \left ( \dfrac{3}{2};3 \right ), un autre vecteur directeur de d. Je laisse à l’élève le soin de vérifier que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont bien colinéaires.

On va reprendre à l’identique ce qui a été fait avec A et \overrightarrow{u}.

Soit M(x;y) un point quelconque de la droite d. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM} sont x+1 et y+1.

\overrightarrow{v} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires. Donc leur déterminant est nul : \dfrac{3}{2} \times (y+1) - 3 \times (x+1) = 0.

On développe cette égalité : \dfrac{3y}{2} + \frac{3}{2} - 3x -3 = 0.

On la simplifie : \dfrac{3y}{2} - \dfrac{3}{2} - 3x = 0.

On multiple chaque membre de l’égalité par 2 : 3y - 3 - 6x = 0

On divise chaque membre de légalité par 3 : y - 1 - 2x = 0, c’est-à-dire : -2x + y - 1 = 0. C’est bien l’équation cartésienne de la droite d. Elle ne dépend pas du point et du vecteur directeur choisis.

Propriété
Toute droite du plan possède une équation cartésienne qui lie l’abscisse x et l’ordonnée y de tout point de cette droite et uniquement les points de cette droite.

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme : ax + by + c = 0 pour laquelle a, b et c sont des nombres réels fixes.

Démonstration : Soit la droite d passant par A(x_A;y_A) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}(\alpha;\beta).

Soit M(x;y) un point quelconque de la droite d. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} sont x-x_A et y-y_A.

Alors nous savons que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires. Donc leur déterminant est nul : \alpha \times (y-y_A) - \beta \times (x-x_A) = 0.

On développe cette égalité : \alpha y - \alpha y_A - \beta x + \beta x_A= 0 que l’on présente ainsi : -\beta x + \alpha y + \beta x_A - \alpha y_A = 0. C’est l’équation cartésienne de la droite d.

En posant : a = -\beta, b = \alpha et c = \beta x_A - \alpha y_A, on retrouve bien une équation de la forme ax + bx + c = 0.

REMARQUE : L’équation cartésienne d’une droite n’est pas une unique. Si ax+by+c=0 est une équation cartésienne d’une droite alors pour tout réel k non nul, l’équation : kax + kby + kc = 0 est aussi une équation cartésienne de la même droite.

La droite représentée ci-contre a comme équation cartésienne : -0,5x+y+1=0. En multipliant par 2 les deux termes de cette équation, on obtient une autre équation cartésienne de cette droite : -x+2y+2=0.

Propriété
  • Si d est une droite parallèle à l’axe des ordonnées, alors il existe un nombre réel k tel qu’une équation cartésienne de d est x = k.
  • Si d est une droite parallèle à l’axe des abscisses, alors il existe un nombre réel k tel qu’une équation cartésienne de d est y = k.

Démonstration :

Si d est parallèle à l’axe des ordonnées, le vecteur \overrightarrow{j}(0;1) est un vecteur directeur de d.

Soit A(x_A;y_A) un point particulier de d. On a vu dans la démonstration précédente que si M(x;y) est un point de d alors le déterminant des vecteurs \overrightarrow{j} et \overrightarrow{AM} est nul.

Cela conduit à l’égalité : (-1) \times x + 0 \times y + 1 \times x_A - 0 \times y_A = 0, soit -x + x_A = 0 ou plus simplement x = x_A.

En posant k = x_A, on obtient une équation cartésienne de d : x = k.

La démonstration concernant les droites parallèles à l’axe des abscisses est très proche.

Propriété
Soient a, b et c, trois nombres réels tels que a et b ne soient pas tous les deux nuls. L’ensemble \Delta des points de coordonnées (x ; y) qui vérifient l’équation ax + by + c = 0 est une droite dont un vecteur directeur est \overrightarrow{u}(-b ; a).

Démonstration :

1er cas : a = 0. Alors l’équation ax + by + c = 0 se réduit à by + c = 0, soit by = -c et finalement y = - \dfrac{c}{b}.

Ainsi tous les points de \Delta ont la même pour ordonnée : - \dfrac{c}{b}, quelle que soit la valeur de leurs abscisses. Conclusion : \Delta est la droite parallèle à l’axe des abscisses passant, par exemple, par le point A de coordonnées (0 ; - \dfrac{c}{b}).

Un vecteur directeur de \Delta est \overrightarrow{u}(-b ; 0).

Dans l’exemple de droite : c=-1,5 et b=-1.

2ème cas : b = 0. Alors l’équation ax + by + c = 0 se réduit à ax + c = 0, soit ax = -c et finalement x = - \dfrac{c}{a}.

Ainsi tous les points de \Delta ont la même pour abscisse : - \dfrac{c}{a}, quelle que soit la valeur de leurs ordonnées. Conclusion : \Delta est la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant, par exemple, par le point B de coordonnées (- \dfrac{c}{a} ; 0).

Un vecteur directeur de \Delta est \overrightarrow{u}(0 ; a).

Dans l’exemple de droite : c=1,5 et a=1.

3ème cas : a \ne 0, b \ne 0 et c = 0. Alors l’équation ax + by + c = 0 se réduit à ax + by = 0. On peut découvrir deux points de \Delta : O(0 ; 0) et A(-b ; a). Les coordonnées de \overrightarrow{OA} sont évidemment (-b ; a).

Soit M(x;y) un point quelconque de \Delta. Les coordonnées de \overrightarrow{OM} sont (x ; y).

Le déterminant de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OM} est -b \times y - a \times x = -by -ax = -(ax+by).

Or M(x;y) \in \Delta donc ax+by=0. Par conséquent le déterminant de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OM} est nul, donc les deux vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire que les trois points 0, A et M sont alignés : M est un point de la droite (AB).

Avant de conclure que \Delta est la droite (OA), il faut démontrer, qu’inversement, tout point de (OA) appartient à \Delta :

Soit M(x;y) \in (OA). Alors \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OM} sont colinéaires, donc leur déterminant est nul, ce qui donne l’égalité : -(ax+by)=0, soit ax+by=0. Donc M \in \Delta.

On peut donc en conclure que \Delta est la droite (OA).

Dans l’exemple ci-contre : a=1 et b=2.

4ème cas : a \ne 0, b \ne 0 et c \ne 0. Les deux points A(0 ; - \dfrac{c}{b}) et B(- \dfrac{c}{a} ; 0) obtenus précédemment appartiennent à \Delta et ne sont pas confondus puisque c \ne 0. Donc \overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{0}.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont (- \dfrac{c}{a} ; \dfrac{c}{b}).

Soit M(x;y) un point quelconque de \Delta. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} sont (x ; y + \dfrac{c}{b}).

Calculons le déterminant des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} :

    \[ - \dfrac{c}{a} \times (y + \dfrac{c}{b}) - \dfrac{c}{b} \times x = - \dfrac{cy}{a} - \dfrac{c^2}{ab} - \dfrac{cx}{b} = - \dfrac{cyb}{ab} - \dfrac{c^2}{ab} - \dfrac{acx}{ab} = -\dfrac{bcy + c^2 + acx}{ab} = -\dfrac{c(by + c + ax)}{ab} = -\dfrac{c(ax + by + c)}{ab} \]

Or par hypothèse M \in \Delta donc les coordonnées de M vérifient l’équation ax + by + c = 0. Par conséquent le déterminant des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} est nul.

Cela signifie que ces deux vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et M sont alignés. Conclusion : tout point de \Delta appartient à la droite (AB).

Avant de conclure que \Delta est la droite (AB), il faut démontrer, qu’inversement, tout point de (AB) appartient à \Delta :

Soit M(x;y) \in (AB). Alors \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires, donc leur déterminant est nul, ce qui donne l’égalité : -\dfrac{c(ax + by + c)}{ab} = 0.

Alors c(ax + by + c) = 0. Comme c \ne 0, il vient ax + by + c = 0. Donc M \in \Delta.

On peut donc en conclure que \Delta est la droite (AB).

Dernier point à vérifier : le vecteur \overrightarrow{u}(-b ; a) est-il un vecteur directeur de \Delta ? Comme \Delta = (AB), il est évident que \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de \Delta.

Posons k = -\dfrac{ab}{c}. Notons que k \ne 0. Le vecteur k \overrightarrow{AB} est colinéaire à \overrightarrow{AB} donc c’est aussi un vecteur directeur de \Delta.

Les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont : (- \dfrac{c}{a} ; \dfrac{c}{b}). Donc :

  • l’abscisse de k \overrightarrow{AB} : k \times (- \dfrac{c}{a}) = (-\dfrac{ab}{c}) \times (- \dfrac{c}{a}) = b et
  • l’ordonnée de k \overrightarrow{AB} : k \times \dfrac{c}{b} = (-\dfrac{ab}{c}) \times \dfrac{c}{b} = -a

qui sont exactement les coordonnées de \overrightarrow{u}.

Propriété : droites parallèles
Soit une droite d dont une équation cartésienne est ax + by + c = 0 et une droite d' dont une équation cartésienne est a'x + b'y + c' = 0.

Les droites d et d' sont parallèles si et seulement si ab' - a'b = 0

Démonstration :

1ère partie : Supposons que d \parallel d'. Alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Un vecteur directeur de d est \overrightarrow{u}(-b;a) et un vecteur directeur de d' est \overrightarrow{u'}(-b';a'). Si \overrightarrow{u}(-b;a) et \overrightarrow{u'}(-b';a') sont colinéaires alors leur déterminant est nul. Ce qui donne : ab' - a'b = 0

2ème partie (réciproque) : Supposons que ab' - a'b = 0, alors le déterminant de \overrightarrow{u}(-b;a) et \overrightarrow{u'}(-b';a') est nul, donc ces deux vecteurs directeurs sont colinéaires. Ce qui permet d’affirmer que les deux droites sont parallèles.

III – Équation cartésienne réduite

Propriété et définition
Soit une droite d dont une équation cartésienne est ax + by + c = 0 telle que b \ne 0. Alors d possède une équation cartésienne réduite de la forme y = px + r.

Démonstration :

Soit une droite d dont l’équation cartésienne est ax + by + c = 0 telle que b \ne 0. Alors by = -ax - c

Comme b \ne 0, on peut diviser les deux membres de l’égalité par b : \dfrac{by}{b} = \dfrac{-ax - c}{b}, soit y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}.

En posant p = -\dfrac{a}{b} et r = -\dfrac{c}{b}, on obtient l’équation cartésienne réduite de la droite : y =px + r.

On rappelle que p est le coefficient directeur ou la pente de la droite.

Remarque : Si une droite possède une équation cartésienne réduite, celle-ci est unique.

Remarque : On retrouve un résultat déjà rencontré dans le chapitre sur les fonctions affines.

Remarque : On a vu au cours de la démonstration de la propriété précédente, que le cas b = 0 correspond à une droite parallèle à l’axe des ordonnées. Ce sont les seules droites qui ne possèdent pas d’équation réduite.

Propriété
Soit une droite d d’équation réduite y = px + r, un vecteur directeur de d est \overrightarrow{u}(1 ; p).

Démonstration :

Si l’équation réduite de d est y = px + r alors une équation cartésienne de d est px - y + r = 0. On sait alors qu’un vecteur directeur de d est \overrightarrow{u}(1 ; p).

Interprétation : Quand on se déplace sur la droite du point A au point B, d’une distance horizontale égale à 1, on « monte ou on descend » d’une distance égale à p.

Propriété : droites parallèles
Soient une droite d d’équation réduite y = px + r et une droite d' d’équation réduite y = p'x + r'.

d et d' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (la même pente), autrement dit : si et seulement si p = p'.

Démonstration : d et d' ont comme équations cartésiennes respectives : px - y + r = 0 et p'x - y + r' = 0.

D’après la propriété sur les droites parallèles vue précédemment dans ce chapitre, on sait que d et d' sont parallèles si et seulement si : p \times 1 - p' \times 1 = 0 ce qui donne p = p'.

IV – Système de deux équations linéaire à deux inconnues

Dans ce paragraphe, a, b, c, a', b', c' sont des nombres réels donnés. On suppose de plus que (a;b) \ne (0;0) et que (a';b') \ne (0;0)

Définition
On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues la donnée simultanée de deux équations du premier degré à deux inconnues :

    \[\left\{ \begin{array}{rcr} ax+by & = & c \\ a'x+b'y & = & c' \\ \end{array} \right.\]

Un couple (x;y) est solution du système si et seulement si x et y vérifient les deux égalités du système.

Dans la suite du paragraphe on suppose donné ce système de deux équations linéaires à deux inconnues, que l’on appelle (S).

1. Résolution géométrique d’un système

La première équation de (S) peut s’écrire : ax + by - c = 0. On reconnaît l’équation d’une droite affine d. Le couple (x;y) est solution de cette équation si et seulement si le point M(x;y) appartient à d.

La seconde équation de (S) peut s’écrire : a'x + b'y - c' = 0. On reconnaît l’équation d’une droite affine d'. Le couple (x;y) est solution de cette équation si et seulement si le point M(x;y) appartient à d'.

Ainsi le couple (x;y) est solution du système (S) si et seulement si le point M(x;y) est le point d’intersection des droites d et d'.

Trois cas sont possibles pour ces deux droites :

d et d' sont sécantes d et d' sont parallèles d et d' sont confondues
(S) a une seule solution : les coordonnées de leur point d’intersection (S) n’a aucune solution (S) a une infinité de solutions : les coordonnées de tous les points de d

 

2) Résolution algébrique d’un système

Propriété
Le système (S) admet un couple de nombres réels comme solution unique si et seulement si ab'-a'b \ne 0.

Démonstration : La résolution géométrique nous a appris que la condition nécessaire et suffisante pour que (S) est une solution unique, est que les deux droites ne soient pas parallèles.

Nous avons vu dans le chapitre précédent que cette condition est remplie dès lors que ab' - a'b \ne 0.

Il existe une démonstration purement algébrique ne faisant pas appel à la géométrie, qui sera proposée sous forme d’exercice.

Il existe deux méthodes de résolution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.

Résoudre un système par la méthode de substitution

Cette méthode est efficace si l’un des coefficients a, a', b ou b' est égal à 1.

Le coefficient devant le x de la première équation est 1. On utilise la méthode de substitution qui consiste à :

  • exprimer x en fonction de y puis
  • remplacer le x de la seconde équation par l’expression en fonction de y.

    \[ \text{Exemple : }\left\{ \begin{array}{rcr} x-y & = & -1 \\ 2x+3y & = & 8 \\ \end{array} \right.\]

De la première équation x-y=-1, il vient x= y-1. On remplace ensuite le x de la seconde équation par y-1. Cela donne : 2(y-1)+3y=8.

En développant on obtient : 2y-2+3y=8, soit 5y-2=8, donc 5y=8+2=10, soit y=\dfrac{10}{5} = 2.

On revient au premier résultat obtenu qui était : x=y-1. Comme nous avons calculé que y=2, il vient que x=2-1=1.

Conclusion : la solution unique du sytème est le couple : (1;2).

Question : sommes-nous certains de notre calcul. Un moyen simple de le confirmer est de remplacer les valeurs trouvées pour x et y dans l’une des équations et de vérifier que cette équation est vérifiée. La première équation est x-y=-1. x-y = 1-2=-1 c’est bien le résultat attendu.

Question : sommes-nous certains que (1;2) est la seule solution possible ? Calculons l’expression ab' -a'b de ce système : ab' - a'b = 1 \times 3 - 2 \times (-1) = 3+2=5. Comme on obtient un résultat non nul, nous sommes certains que le système n’a qu’une seule solution.

Résoudre un système par la méthode par combinaison

Cette méthode s’applique si al méthode par substitution n’est pas applicable. Elle consiste à :

  • multiplier par un même nombre les deux membres de la première équation ;
  • (option) multiplier par un même autre nombre les deux membres de la seconde équation ;
  • additionner ou soustraire terme à terme les deux équation pour obtenir une troisième équation où ne subsiste qu’une seule des deux inconnues x ou y.

    \[ \text{Exemple : }\left\{ \begin{array}{rcr} 2x+3y & = & -1,5 \\ 3x+4y & = & -1 \\ \end{array} \right.\]

On multiplie par 3 les deux termes de la première équation : 3 \times (2x+3y) = 3 \times (-1,5). On obtient : 6x+9y=-4,5.

On multiplie par 2 les deux termes de la première équation : 2 \times (3x+4y) = 2 \times (-1). On obtient : 6x+8y=-2.

    \[ \text{Le système est maintenant le suivant : }\left\{ \begin{array}{rcr} 6x+9y & = & -4,5 \\ 6x+8y & = & -2 \\ \end{array} \right.\]

On soustrait membre à membre les termes de la seconde équation des termes de la première. Cela donne l’équation : (6x+9y)-(6x+8y) = -4,5-(-2), soit après simplification : y=-2,5.

On remplace la valeur trouvée pour y dans l’une des deux équation de départ, par exemple la première. On obtient : 2x+3 \times (-2,5)=-1,5, soit 2x = -1,5 +7,5=6. Donc x=3.

Conclusion : la solution unique du sytème est le couple : (3;-2,5)

Deux autres exemples

    \[ \text{Résoudre : }\left\{ \begin{array}{rcr} -x+2y & = & 3 \\ 2x-4y & = & -6 \\ \end{array} \right.\]

Si on multiple par -2 les deux termes de la première équation, on retrouve exactement la seconde équation.

Cela signifie que le système se résume à une seule de ses deux équations  : -x+2y=3 par exemple. D’un point de vue géométrique, on a un système de deux équations cartésienne de la même droite.

Conclusion : Les solutions du système sont les coordonnées de tous les points de la droite d’équation -x+2y=3.

    \[ \text{Résoudre : }\left\{ \begin{array}{rcr} \dfrac{3}{2}x-2y & = & 0 \\ x-\dfrac{4}{3}y & = & 1 \\ \end{array} \right.\]

Si on multiple les deux termes de la seconde équation par \dfrac{3}{2}, on obtient : \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{3}y = \dfrac{3}{2} \times 1, soit après simplification : \dfrac{3}{2}x - 2y = \dfrac{3}{2}

    \[ \text{Le système s'écrit maintenant : }\left\{ \begin{array}{rcr} \dfrac{3}{2}x-2y & = & 0 \\ \dfrac{3}{2}x-2y & = & \dfrac{3}{2} \\ \end{array} \right.\]

Conclusion : Ce système n’a aucune solution car 0 \ne \dfrac{3}{2}.

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