Droites

I – Droites sécantes et angles

Définition
Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appelé point d’intersection.

Exemple : Le point I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).

 

 

 

Définition
  • Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
  • Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.
  • L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
  • La mesure d’un angle est l’écartement de ses deux côtés.

II – Longueur d’un segment

Définition
La longueur d’un segment est la distance qui séparent les deux extrémités de ce segment. La longueur du segment [AB] se note AB.

III – Droites parallèles

Définition
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.

Exemple : Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Elles ne se coupent pas. Elles n’ont pas de point d’intersection.

On note : (d) // (d’)

 

Construction d’une droite parallèle à une autre droite

On va tracer la droite parallèle à la droite (d) qui passe par le point A.
On choisit deux points quelconques B et C sur la droite (d).

On trace un arc de cercle de centre C et de rayon AB.

On trace un arc de cercle de centre A et de rayon BC
Soit D le point d’intersection des deux arcs de cercle.

La droite (AD) est parallèle à la droite (d).

Propriété
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

  • On sait que (d2) est parallèle à (d1) et que (d) est aussi parallèle à (d1).
  • On en déduit donc que (d) est parallèle à (d2).

IV – Droites perpendiculaires

Définition
Une droite est perpendiculaire à une autre droite si elles forment entre elles des angles de même mesure.

Exemple :

La droite (d’) est perpendiculaire à la droite (d).

On peut aussi dire que la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d’).

Remarque : Deux droites perpendiculaires forment entre elle quatre angles droits.

Notation : (d) est perpendiculaire à la droite (d’) se note : (d) \bot (d').

Codage : Pour indiquer que deux droites sont perpendiculaires ou qu’un angle est droit, on code la figure avec un petit carré (ici le carré bleu).

propriété : Position relative de deux droites
Deux droites sont parallèles ou sécantes.

Construction de la perpendiculaire à une droite

On va tracer la droite perpendiculaire à (d) qui passe par le point A.
On choisit deux points quelconques B et C sur la droite (d).
On trace un arc de cercle de centre B passant par A.

 

On trace un arc de cercle de centre C passant par A.
Ces arcs de cercle se croisent au point D. La droite (AD) est la droite perpendiculaire à (d) et passant par A.

On code la figure pour indiquer que les deux droites sont perpendiculaires.

Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

  • On sait que (d1) est perpendiculaire à (d) et que (d2) est aussi perpendiculaire à (d).
  • Alors (d1) et (d2) sont parallèles.

 

 

 

 

Propriété
Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Exemple : On utilise à nouveau la figure précédente.

  • On sait que (d1) et (d2) sont parallèles et que (d) est perpendiculaire à (d1).
  • Alors (d) est aussi perpendiculaire à (d2).

V – Distance d’un point à une droite

Soient une droite (d) et un point A. On construit plusieurs segments ayant comme extrémités A et des points de la droite (d).

On observe qu’il existe un point particulier de la droite (d) pour lequel le segment le reliant au point A a une longueur minimale.

 

Définition
Soient une droite d et un point A. La perpendiculaire à d passant par A coupe d au point H.

La distance entre A et d est la longueur du segment [AH].

[AH] est le segment le plus court reliant A et tous les points de la droite d.


EXERCICES

  • 1 / 117 : écriture
  • 3, 4 / 117 : construction
  • 10 / 118 : vocabulaire
  • 11 / 118 : recherche
  • 12 / 118 : Raisonnement
  • 19, 21 / 119 : programme de construction
  • 23, 24, 25 / 120 : constructions
  • 36 / 121 : construction et symboles
  • 59 / 126 : Programme de construction complexe
  • 63 / 127 : belle figure géométrique à reproduire