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Droites et angles

I – Vocabulaire de base

1) Droite, demi-droite et segment

Figure Notation Signification
[AB] Lire : « segment [AB] ».

C’est le segment d’extrémités A et B.

AB La longueur d’un segment est la distance qui séparent les deux extrémités de ce segment.
(AB) Lire : « droite (AB) ».

C’est la droite qui passe par les points A et B.

[AB) Lire : « demi-droite [AB) ».

C’est la demi-droite d’origine A passant par le point B.

A \in (d)

B \notin (d)

Le point A appartient à la droite (d).

Le point B n’appartient pas à la droite (d).

2) Points alignés

Propriétés
  • Par un point, il passe une infinité de droites.
  • Deux points sont toujours alignés.
  • Par deux points, il ne passe qu’une seule droite.
Définition
Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Exemple : Les points A, B et C sont alignés.

 

 

II – Droites sécantes et angles

Définition
Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appel point d’intersection.

Exemple : Le point I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).

 

 

 

Définition
  • Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
  • Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.
  • L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
  • La mesure d’un angle est l’écartement de ses deux côtés.

III – Droites parallèles

Définition
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.

Exemple : Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Elles ne se coupent pas. Elles n’ont pas de point d’intersection.

On note : (d) // (d’)

 

 

 

Propriété
Si deux droites sont parallèles et si elles possèdent un point en commun, alors elles sont confondues.
Les droites (AB) et (AC) ont un point en commun qui est A. Elles ne sont pas parallèles. La seule possibilité pour que deux droites soient parallèles et qu’elles possèdent au moins un point en commun,est qu’elles soient confondues.

 

Propriété
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

  • On sait que (d2) est parallèle à (d1) et que (d) est aussi parallèle à (d1).
  • On en déduit donc que (d) est parallèle à (d2).

 

 

 

 

IV – Droites perpendiculaires

Définition
Une droite est perpendiculaire à une autre droite si elles forment entre elles des angles de même mesure.

Exemple :

La droite (d’) est perpendiculaire à la droite (d).

On peut aussi dire que la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d’).

On note : (d) \perp (d') pour (d) perpendiculaire à (d’).

Remarque : Deux droites perpendiculaires forment entre elle quatre angles droits.

Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

  • On sait que (d1) est perpendiculaire à (d) et que (d2) est aussi perpendiculaire à (d).
  • Alors (d1) et (d2) sont parallèles.

 

 

 

 

Propriété
Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Exemple : On utilise à nouveau la figure précédente.

  • On sait que (d1) et (d2) sont parallèles et que (d) est perpendiculaire à (d1).
  • Alors (d) est aussi perpendiculaire à (d2).

V – Angles et droites parallèles

1) Angles adjacents

Définition
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

 

Définition
Deux angles adjacents dont la somme des mesures est égales à 180° sont appelés supplémentaires.

Deux angles supplémentaires forment ensemble un angle plat.

Exemple : \widehat{BAC}+\widehat{CAD}=180°.

2) Angles correspondants, alternes-internes

Définition
Deux angles formés par deux droites coupées par une droite sécante sont dits alternes-internes si :

  • ils sont situés de part et d’autre de la droite sécante ;
  • ils sont situés entre les deux droites ;
  • ils ne sont pas adjacents.

Exemple : Les deux droites (AB) et (HD) sont coupées par une droite sécante (EG). Les angles \widehat{DHG} et \widehat{AGH} sont des angles alternes-internes.

Définition
Deux angles formés par deux droites coupées par une droite sécante sont dits correspondants si :

  • ils sont situés du même côté de la droite sécante ;
  • Leurs sommets sont les deux points d’intersection des deux droites avec la droite sécantes.

Exemple : Dans la figure précédente, les angles \widehat{DHG} et \widehat{BGE} sont des angles correspondants.

Propriétés
  • Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la droite sécante sont parallèles.
  • Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

Exemple :

Les angles alternes-internes \widehat{DHG} et \widehat{AGH} sont de même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les angles correspondants \widehat{DHG} et \widehat{BGE} sont de même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

 

 

Propriétés réciproques
  • Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.
  • Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.

Exemple :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors si on trace une droite sécante (EF) à ces deux droites, on forme des angles alternes-internes et des angles correspondants ayant tous la même mesure :

\widehat{DHG} = \widehat{AGH} = \widehat{BGE}

On observe également que les angles alternes-internes \widehat{CHG} et \widehat{HGB} sont de même mesure.

Pour les mêmes raisons, les angles correspondants \widehat{CHG} et \widehat{AGE} sont de même mesure.

\widehat{CHG} = \widehat{HGB} = \widehat{AGE}

VI – Milieu et médiatrice d’un segment

Définition
  • Le milieu du segment [AB] est le point du segment [AB] qui est équidistant (à la même distance) des extrémités A et B.
  • Dit autrement : Le milieu d’un segment coupe ce segment en deux segments de même longueur.

Exemple : Le point A est le milieu du segment [RT]. Cela signifie que les points A,R et T sont alignés et que les distances AR et AT sont égales.

Codage du milieu : Pour indiquer sur une figure que deux segments ont la même longueur, on leur ajoute un même symbole (un petit disque noir dans cet exemple).

Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.

Exemple : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Elle passe par le point M, milieu du segment [AB]. Elle forme avec [AB] un angle droit.

 

 

Propriétés
  • Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
  • Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple : Soit (d) la médiatrice du segment [AB].

  • Si le point C appartient (d), alors les distances CA et CB sont égales.
  • Si CA = CB, alors C est un point de (d).

Construction de la médiatrice

Pour tracer la médiatrice du segment [AB] :

  • On trace un cercle de centre A qui passe par B.
  • On trace un cercle de centre B qui passe par A.
  • Ces deux cercles se coupent aux points C et D.
  • La droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].

Pourquoi cette construction permet-elle d’obtenir la médiatrice ?

  • Les deux cercles ont le même rayon AB.
  • C appartient au cercle de centre A donc AC = AB.
  • C appartient au cercle de centre B donc BC = AB.
  • Par conséquent : AC = BC. Donc C est sur la médiatrice de [AB].
  • Un même raisonnement permet de démontrer que D est sur la médiatrice de [AB].
  • Ce qui permet de conclure que la droite (CD) est la médiatrice de [AB]