I – Vocabulaire de base

1) Droite, demi-droite et segment

Figure	Notation	Signification
	$[AB]$	Lire : « segment [AB] ». C’est le segment d’extrémités A et B.
	AB	La longueur d’un segment est la distance qui séparent les deux extrémités de ce segment.
	$(AB)$	Lire : « droite (AB) ». C’est la droite qui passe par les points A et B.
	$[AB)$	Lire : « demi-droite [AB) ». C’est la demi-droite d’origine A passant par le point B.
	$A \in (d)$ $B \notin (d)$	Le point A appartient à la droite (d). Le point B n’appartient pas à la droite (d).

2) Points alignés

Propriétés

Par un point, il passe une infinité de droites.
Deux points sont toujours alignés.
Par deux points, il ne passe qu’une seule droite.

Définition

Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Exemple : Les points A, B et C sont alignés.

II – Droites sécantes et angles

Définition

Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appel point d’intersection.

Exemple : Le point I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).

Définition

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.
L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
La mesure d’un angle est l’écartement de ses deux côtés.

Notation

L’angle de sommet O et de côté [OA) et [OB) se note $\widehat{AOB}$ .

La lettre du milieu représente le sommet de l’angle.

III – Droites parallèles

Définition

Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.

Exemple : Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Elles ne se coupent pas. Elles n’ont pas de point d’intersection.

On note : (d) // (d’)

Propriété

Si deux droites sont parallèles et si elles possèdent un point en commun, alors elles sont confondues.


Les droites (AB) et (AC) ont un point en commun qui est A. Elles ne sont pas parallèles.	La seule possibilité pour que deux droites soient parallèles et qu’elles possèdent au moins un point en commun,est qu’elles soient confondues.

Propriété

Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

On sait que (d₂) est parallèle à (d₁) et que (d) est aussi parallèle à (d₁).
On en déduit donc que (d) est parallèle à (d₂).

Construction d’une droite parallèle à une autre droite

On va tracer la droite parallèle à la droite $(d)$ qui passe par le point $A$ .
On choisit deux points quelconques $B$ et $C$ sur la droite $(d)$ . On trace un arc de cercle de centre $C$ et de rayon $AB$ .
On trace un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $BC$
Soit $D$ le point d’intersection des deux arcs de cercle. La droite $(AD)$ est parallèle à la droite $(d)$ .

IV – Droites perpendiculaires

Définition

Une droite est perpendiculaire à une autre droite si elles forment entre elles des angles de même mesure.

Exemple :

La droite (d’) est perpendiculaire à la droite (d).

On peut aussi dire que la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d’).

On note : $(d) \perp (d')$ pour (d) perpendiculaire à (d’).

Remarque : Deux droites perpendiculaires forment entre elle quatre angles droits.

Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple :

On sait que (d₁) est perpendiculaire à (d) et que (d₂) est aussi perpendiculaire à (d).
Alors (d₁) et (d₂) sont parallèles.

Propriété

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Exemple : On utilise à nouveau la figure précédente.

On sait que (d₁) et (d₂) sont parallèles et que (d) est perpendiculaire à (d₁).
Alors (d) est aussi perpendiculaire à (d₂).

Construction de la perpendiculaire à une droite

On va tracer la droite perpendiculaire à (d) qui passe par le point A.
On choisit deux points quelconques B et C sur la droite (d).
On trace un arc de cercle de centre B passant par A.
On trace un arc de cercle de centre C passant par A.
Ces arcs de cercle se croisent au point D. La droite (AD) est la droite perpendiculaire à (d) et passant par A. On code la figure pour indiquer que les deux droites sont perpendiculaires.

V – Angles et droites parallèles

1) Angles adjacents

Définition

Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Définition

Deux angles adjacents dont la somme des mesures est égales à 180° sont appelés supplémentaires.

Deux angles supplémentaires forment ensemble un angle plat.

Exemple : $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=180$ °.

2) Angles opposés par le sommet

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de l’autre.

Dans la figure de droite, les deux angles dessinés en vert $\widehat{CAB}$ et $\widehat{DAE}$ sont opposés par le sommet A.

De même, les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{EAC}$ sont opposés par le sommet A.

Avant d’aller plus loin, il faut comprendre la propriété suivante illustrée par les deux dessins ci-dessous :

Imaginons que nous possédons une balance à plateaux et trois objets : un cylindre bleu, un cylindre orange et deux cubes verts de même poids.

Nous posons sur le plateau gauche le cylindre bleu et un cube vert, et sur le plateau droit, le cylindre orange et l’autre cube vert.

Nous constatons alors que la balance est équilibrée. la somme des poids du cylindre bleu et du cube vert est égale à la somme des poids du cylindre orange et du cube vert.

Que se passe-t-il si on retire des plateaux les deux cubes verts identiques ?

On constate évidemment que la balance reste équilibrée. C’est-à-dire que les deux cylindres ont le même poids.

Si nous traduisons cela en langage mathématique, cela donne : Si trois nombres $\alpha, \beta, \gamma$ sont tels que $\alpha + \gamma = \beta + \gamma$ , alors $\alpha = \beta$ . Nous allons utiliser cette propriété pour la démonstration suivante.

Propriété

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Démonstration : En s’appuyant sur la figure ci-dessus, on observe que les points B, A et E sont alignés. Donc les angles $\widehat{DAE}$ et $\widehat{BAD}$ sont supplémentaires. Ce qui donne l’égalité : $\beta + \gamma = 180^\circ$ .

On observe aussi que les points C, A et D sont alignés. Donc les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{BAD}$ sont supplémentaires. Ce qui donne l’égalité : $\alpha + \gamma = 180^\circ$ .

SI $\alpha + \gamma = 180^\circ$ et si $\beta + \gamma = 180^\circ$ alors $\alpha + \gamma = \beta + \gamma$ . Conclusion : $\alpha= \beta$ . Les deux angles opposés ont la même mesure.

3) Angles correspondants, alternes-internes

Définition

Deux angles formés par deux droites coupées par une droite sécante sont dits alternes-internes si :

ils sont situés de part et d’autre de la droite sécante ;
ils sont situés entre les deux droites ;
ils ne sont pas adjacents.

Exemple : Les deux droites (AB) et (HD) sont coupées par une droite sécante (EG). Les angles $\widehat{DHG}$ et $\widehat{AGH}$ sont des angles alternes-internes.

Définition

Deux angles formés par deux droites coupées par une droite sécante sont dits correspondants si :

ils sont situés du même côté de la droite sécante ;
Leurs sommets sont les deux points d’intersection des deux droites avec la droite sécantes.

Exemple : Dans la figure précédente, les angles $\widehat{DHG}$ et $\widehat{BGE}$ sont des angles correspondants.

Propriétés

Si deux droites forment avec une même droite sécante des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Si deux droites forment avec une même droite sécante des angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple :

Les angles alternes-internes $\widehat{DHG}$ et $\widehat{AGH}$ sont de même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les angles correspondants $\widehat{DHG}$ et $\widehat{BGE}$ sont de même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Propriétés réciproques

Si deux droites sont parallèles et forment avec une même droite sécante des angles alternes-internes, alors ces angles ont la même mesure.
Si deux droites sont parallèles et forment avec une même droite sécante des angles correspondants, alors ces angles ont la même mesure.

Exemple :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors si on trace une droite sécante (EF) à ces deux droites, on forme des angles alternes-internes et des angles correspondants ayant tous la même mesure :

$\widehat{DHG} = \widehat{AGH} = \widehat{BGE}$