Deux triangles isométriques dans un demi-cercle

Comment positionner deux rectangles isométriques dans un demi-cercle de telle manière qu’un l’un soit aligné à droite sur un diamètre du demi cercle et que l’autre touche le premier rectangle en un sommet et le demi-cercle en deux autres sommets, comme indiqué sur la figure de droite ?

Résultat n°1 : le grand côté des rectangle est égal au rayon du demi-cercle

Les deux rectangles sont isométriques donc leurs diagonales ont la même longueur. Ainsi AC = CB. Par conséquent C appartient à la médiatrice de [AB] qui est la droite (CO). Ce qui démontre que la longueur OB est le rayon du demi-cercle.

Résultat n°2 : Les points E, C et B sont alignés

Comme E est sur le cercle de diamètre AB, le triangle AEB est rectangle en E. Par ailleurs l’angle \widehat{AEC} est droit puisque nous avons un rectangle. Ce qui implique que les points E, C et B sont alignés.

Résultat n°3 : \widehat{OBC} = 30^o

Les triangles CEA, CAO et COB sont isométriques. Donc \widehat{ECA} = \widehat{ACO} = \widehat{OCB} et leur somme fait 180°. Par conséquent chacun de ces angles mesure 60°. Ce qui permet de conclure que \widehat{OBC} = 30^o

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