Cercle de Conway

À partir d’un triangle quelconque, on construit 6 points particuliers qui appartiennent tous au même cercle, dit de Conway.

Construction : soit ABC un triangle quelconque et soit O le centre du cercle inscrit à ABC.

  1. D est le point de la demi-droite [BC) tel que CD = AB ;
  2. E est le point de la demi-droite [AC) tel que CE = AB ;
  3. F est le point de la demi-droite [AB) tel que BF = AC ;
  4. G est le point de la demi-droite [CB) tel que BG = AC ;
  5. H est le point de la demi-droite [CA) tel que AH = BC ;
  6. I est le point de la demi-droite [BA) tel que AI = BC ;
  7. Les ponts D, E, F, G, H et I appartient au cercle de centre O.

Explications :

Par construction, AH = AI, donc HAI est un triangle isocèle en A. Par conséquent la médiatrice de [HI] est confondue avec la bissectrice de \widehat{HAI}, notée (AJ).

(AJ) est aussi la bissectrice de \widehat{BAC}. Donc le point O appartient à la droite (AJ). Puisque (AJ) est aussi la médiatrice de [HI], O est équidistant de H et de I.

De la même façon on démontre O est aussi équidistant des points I et D, puis de E, F et G. Ce qui démontre que les 6 points sont cocycliques, de centre O.

 

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