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Calculs algébriques

SOMMES

    \[ \left ( \sum\limits_{j=0}^n a_j \right ) \left ( \sum\limits_{k=0}^m b_k \right ) = \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{k=0}^m a_j b_k \]

    \[ \sum\limits_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2} \qquad \qquad \sum\limits _{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad \qquad \sum\limits _{k=1}^n k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} = \left ( \sum\limits_{k=1}^n k \right )^2 \]

    \[ \sum\limits _{k=m}^n k =\dfrac{(n+m)(n-m+1)}{2} \qquad \sum\limits _{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^ \]

    \[ a^n - b^n = (a-b) \sum\limits _{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k \qquad \qquad a^n - 1 = (a-1) \sum\limits _{k=0}^{n-1} a^k \qquad \qquad \sum\limits_{k=m}^n x^k = x^m \dfrac{1 - x^{n-m+1}}{1-x} \]


COEFFICIENTS BINOMIAUX

Dénombrement

Soient un ensemble E tel que Card E=n et soit p \le n.

Le nombre de p-listes d’élements de E est n^p. C’est aussi le nombre d’applications d’un ensemble à p élements vers un ensemble à n éléments. Cela correspond au nombre de possibilités de choisir p éléments parmi n avec répétition.

Card P(E)=2^n. Cas particulier du précédent. C’est le nombre d’applications d’un ensemble à n éléments vers un ensemble à 2 éléments : un élément appartient ou n’appartient pas à un sous-ensemble de E.

Le nombre d’arrangements (liste d’éléments différents) de E est \dfrac{n!}{(n-p)!}. C’est aussi le nombre d’injections d’un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments. Si n=p, n! est le nombre de bijections entre deux ensembles de n éléments chacun.

Le nombre de combinaisons de p éléments de E est

    \[ \binom{n}{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!\, p!} \]

Formule de Pascal

    \[ \binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1} \]

Formule du binôme de Newton

    \[ (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \qquad \qquad (1+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k \qquad \qquad \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n \qquad \qquad \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k = 0 \]


INTERVALES ET NOMBRES RÉELS

Valeur absolue

    \[ \lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert \le \lvert a - b \rvert \]

    \[ \lvert a - b \rvert = r \Longleftrightarrow a = b \pm r \qquad \qquad \lvert a - b \rvert < r \Longleftrightarrow b - r < a < b + r \qquad \qquad \lvert a - b \rvert > r \Longleftrightarrow a < b - r \text{ ou } a > b + r \]

Intervalle

    \[ x \in [a;b] \Longleftrightarrow \exists t \in [0;1] \text{ tel que } x = (1-t)a + tb \]

Borne supérieure

Soit E un sous-ensemble non vide de \mathbb{R}

    \[ M = \text{Sup} (E) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists x \in E \text{ tel que } x \in [M - \varepsilon ; M] \]

Propriété de la borne supérieure : Toute partie de \mathbb{R} non vide et majorée est bornée.

\mathbb{R} est archimédien : \forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N} tel que x < n.

\mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} ∶ Entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels.

\mathbb{R}\mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} : Entre deux réels distincts, il y a une infinité d’irrationnels.


NOMBRES COMPLEXES

    \[ \arg (z) = \arg (z') \Longleftrightarrow \dfrac{z}{z'} \in \mathbb{R}^{*+} \]

Formule de Moivre

    \[ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \qquad \text{autre formulation : } \qquad \left ( e^{i \theta} \right )^n = e^{in \theta} \]

Formule d’Euler

    \[ \cos \theta = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \qquad \qquad \sin \theta = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \]

L’ensemble U des complexes de module 1 est un sous-groupe de (\mathbb{C},\times). z \in U \Longleftrightarrow \dfrac{1}{z} = \bar{z}

Racines nièmes

Les racines nièmes de \rho e^{i \theta} sont \{ \sqrt[n]\rho e^{i \frac{\theta + 2 k \pi}{n}}, k = 0, 1, \ldots, n-1 \}

Soit z_0 = \sqrt[n]\rho e^{i \frac{\theta}{n}}, la racine nième de z (pour k=0) et soit \omega_0 = e^{\frac{\2 i \pi}{n}}, la racine nième de l’unité (pour k=0), alors la racine kième de z est z_0 \omega ^ k.

L’ensemble U_n des racines nièmes de l’unité est un sous-groupe de (C,\times). U_n = \{1,\omega_0,\omega_0^2, \ldots,\omega_0^{n-1} \}.

La somme des racines nièmes de l’unité est nulle.

Exponentielle complexe

    \[ z=a+ib \qquad \qquad \exp⁡(z)=e^a e^{ib} \]

Géométrie

Soient A, B et C trois points d’affixes a, b et c. Alors \widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}} = \arg \left ( \dfrac{c-b}{c-a} \right )

    \[ \text{A, B et C sont alignés} \Longleftrightarrow \dfrac{c-b}{c-a} \in \mathbb{R} \]

    \[ \text{(AC) et (BC) sont perpendiculaires} \Longleftrightarrow \dfrac{c-b}{c-a} \in i\mathbb{R} \]

Translation : f(z)=z+b \qquad b \in \mathbb{C}

Homothétie : f(z)=az+b \qquad a \in \mathbb{R}-\{0,1\} \qquad b \in \mathbb{C}

    \[ \text{Si } z_0 \text{ est l'affixe du centre de l'homothétie, alors } f(z) - (z_0 = a(z-z_0) \]

Rotation : f(z)=az+b \qquad a \in \mathbb{C}-\{1\} \qquad \lvert a \rvert = 1 \qquad b \in \mathbb{C}

    \[ \text{Si } z_0 \text{ est l'affixe du centre de la rotation, alors } f(z) - z_0 = e^{i\alpha} (z-z_0) \qquad \alpha = \arg⁡(a) \]

Similitude directe plane : Composée d’une homothétie de rapport positif et d’une rotation de même centre. Elle conserve les angles orientés. On note z_0 le centre de la similitude.

    \[ f(z)=az+b \qquad (a,b)∈ \in \mathbb{C}^2 \qquad f(z) - z_0 = ke^{i\alpha} (z-z_0) \qquad k = \lvert a \rvert \qquad \alpha = \arg⁡(a) \]

La composée de deux similitudes d’angles opposés est une homothétie.

La composée de deux similitudes de rapports inverses est une rotation.

Voir : Centre d’une similitude directe