Calcul littéral

I – Expression littérale

C’est le titre de la boite
Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

  • L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale : \mathcal{A} = c \times c. On dit que l’aire du carré s’exprime en fonction de c.
  • Le triple du nombre n s’exprime sous la forme : 3 \times n.
Notation
Pour simplifier l’écriture d’une expression littérale, on peut supprimer le signe \times devant une lettre ou une parenthèse.

Exemple : Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l est : \mathcal{P} = 2 \times L + 2 \times l = 2L + 2l.

Remarques :
• On peut simplifier les écritures : 1 \times x en x et 0 \times y en 0.
• ATTENTION : On ne peut pas supprimer le symbole de multiplication \times entre deux nombres : 3 \times 4 ne peut pas s’écrire 34.

Définitions
Soit un nombre a quelconque,

  • Le carré de a est le produit a \times a et est noté : a^2.
  • Le cube de a est le produit a \times a \times a et est noté : a^3.

Exemples :

  • L’aire d’un carré de côté c est : c2.
  • Le volume d’un cube d’arête c est = c3.

II – Évaluer une expression littérale

Règle
Pour évaluer une expression littérale, on remplace chaque lettre par une valeur donnée et on effectue le calcul.

Exemple : Soit l’expression littérale : B = 2x + 1. Quelle est la valeur obtenue pour B quand on donne plusieurs valeurs différentes à x ?

  • Si x=0, alors B=2 \times 0 +1= 0+1=1
  • Si x=3 alors B = 2 \times 3 + 1 = 6+17
  • Si x = 7,5 alors B = 2 \times 7,5 + 1=14 +1=15.

Essayons de comprendre ce que représente l’expression littérale B = 2x + 1 par un petit algorithme :

III – Égalité de deux expressions littérales

Méthode
Tester l’égalité entre deux expressions littérales consiste à calculer chaque expression en remplaçant les lettres par des valeurs, puis à comparer les deux résultats obtenus..

Exemple : On se propose de tester l’égalité suivante : 3x-2 = 2-x pour x=1, puis pour x=2

  • Pour x=1 :
    • 3x-2 = 3 \times 1 - 2 = 3 - 2 =1 et
    • 2-x = 2 - 1 = 1.
    • Conclusion : pour x=1, les deux expressions sont égales.
  • Pour x=2 :
    • 3x-2 = 3 \times 2 - 2 = 6 - 2 = 4 et
    • 2-x = 2 - 2 = 0.
    • Conclusion : pour x=2, les deux expressions ne sont pas égales.

IV – Produire une expression numérique

Exemple : Étant donné un nombre x quelconque, déterminer l’expression correspondant à la phrase suivante : soustraire le double de x au carré de x.

Le carré de x est : x^2. Le double de x est : 2x. Donc l’expression recherchée est : x^2 - 2x.

Exemple : Paul possède 17 € pour acheter des fleurs à sa maman. Il choisit des roses coûtant 3,50 € pièce. Si le nombre de fleurs achetées par Paul est représenté par la lettre n, quelle est l’expression qui donne la somme d’argent qu’il reste à Paul après son achat ?

  • Chaque fleur coûte 3,50 €, donc n fleurs coûtent 3,5 \times n =3,5n.
  • Paul possède 17 €. Après son achat, il lui reste : 17 - 3,5n euros.
  • Par exemple, s’il achète 4 fleurs, il lui restera : 17 - 3,5 \times 4 = 17 - 14 = 3 €.

V – Distributivité

2 pommes + 3 pommes = 5 pommes.

On remplace la pomme par la lettre a. Sur le modèle des pommes, on peut alors écrire cette égalité : 2a + 3a = 5a. (1)

On sait évidemment que 5 = 2 + 3. Donc 5a = (2 + 3)a. Alors l’égalité (1) s’écrit aussi : 2a + 3a = (2 + 3)a.

Voici un champ composé de deux parcelles dont les dimensions sont précisées. On peut calculer l’aire totale de ce champ de deux façons différentes.

1er calcul : on calcule l’aire de chaque parcelle puis on fait la somme des deux aires.

  • La parcelle bleue : 30 \times 40 = 1\:200 \: m^2.
  • La parcelle rouge : 30 \times 20 = 600 \: m^2.
  • L’aire du champ : 1\:200 + 600 = 1\:800 \: m^2

2ème calcul : la longueur totale du champ est : 40 + 20 = 60 \: m. Par conséquent son aire est : 30 \times 60 = 1\:800 \: m^2.

Conclusion  : 30 \times 40 + 30 \times 20 = 30 \times (40 + 20) = 30 \times 60

Remplaçons les nombres par des lettres.

On peut écrire le même genre d’égalité :

a \times b + a \times c = a \times (b + c)

Cette égalité est une propriété qui s’appelle la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

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