Skip to content

Bissectrice et rapports de longueurs

La bissectrice de l’angle BAC coupe le côté BC au point D. On démontre l’égalité des rapports des longueurs : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC}

Explications :

On complète la figure par une droite (CE) parallèle à (AD) et qui coupe la droite (AB) au point E.

On peut alors écrire les égalités de mesures d’angles suivantes :

  1. \widehat{BAD}=\widehat{DAC} car la droite (AD) est la bissectrice de BAC.
  2. \widehat{DAC}=\widehat{ACE} car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles alternes-internes ont la même mesure.
  3. \widehat{BAD}=\widehat{AEC} car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles correspondants ont la même mesure.
  4. Donc \widehat{ACE}=\widehat{AEC}. Ce qui permet de conclure que le triangle AEC est isocèle en A et que les longueurs AE et AC sont égales.

On applique le théorème de Thales sur le triangle BEC : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AE}. Comme AE = AC, l’égalité des rapports devient : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC}.