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Bissectrice et rapports de longueurs

La bissectrice de l’angle BAC coupe le côté BC au point D. On démontre l’égalité des rapports des longueurs : BD / DC = BA / AC.

Explications :

On complète la figure par une droite (CE) parallèle à (AD) et qui coupe la droite (AB) au point E.

On peut alors écrire plus égalité de mesures d’angles :

  1. BAD = DAC car la droite (AD) est la bissectrice de BAC.
  2. DAC = ACE car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles alternes-internes ont la même mesure.
  3. BAD = AEC car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles correspondants ont la même mesure.
  4. Donc ACE = AEC. Ce qui permet de conclure que le triangle AEC est isocèle en A et que les longueurs AE et AC sont égales.

On applique le théorème de Thales sur le triangle BEC : BD / DC = BA / AE. Comme AE = AC, l’égalité des rapports devient : BD / DC = BA / AC