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Bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est le lieu géométrique des points équidistants des deux côtés de l’angle.

Explications :

Soit D un point de la bissectrice de l’angle \widehat{EAF}. Soient E et F les projetés orthogonaux de D sur les deux côtés de l’angle \widehat{EAF}.

On a \widehat{DAF} = \widehat{EAD} et \widehat{AFD} = \widehat{DEA} donc les triangles FAD et DAE sont semblables. Comme ils possèdent un côté commun [AD], ils sont isométriques. Par conséquent DF = DE, c’est-a-dire que D est équidistant des deux côtés de l’angle \widehat{EAF}.

Réciproque : Si un point D est équidistant des deux côtés de l’angle \widehat{EAF} alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

On reprend les mêmes notations. On sait que DF=DE et que les angles \widehat{AFD} et \widehat{DEA} sont droits. En utilisant le théorème de Pythagore sur les triangles FAD et DAE, on démontre que AF = AE. Ces deux triangles sont alors isométriques, ce qui permet d’affirmer que \widehat{DAF} = \widehat{EAD}, c’est à dire que la droite (AD) est la bissectrice intérieure de \widehat{EAF}.