I – Division euclidienne

Règle

Dans une division euclidienne, on a toujours : dividende = (diviseur × quotient) + reste avec reste < diviseur.

Exemple : On pose et on calcule la division de 893 par 13.

Exemple : Un fleuriste a reçu 260 roses. Il prépare des corbeilles de 12 roses chacune. Combien de corbeilles peut-il préparer ?

On cherche combien de fois il y a 12 dans 260 : 260 = (12 × 21) + 8 avec 8 < 12.

Il pourra donc préparer 21 corbeilles de 12 roses mais il lui restera 8 roses.

II – Divisibilité

1) Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Après avoir effectué la division euclidienne de 91 par 7, on obtient 91 = 7 × 13.
Le reste étant nul, 91 est un multiple de 7 (et de 13 aussi !).
On dit également que 91 est divisible par 7 ou que 7 est un diviseur de 91 ou que 7 divise 91.

2) Critères de divisibilité

Règle

Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : On considère le nombre 23 928. Est-il divisible par 2, 5, 3 et 9 ?

Son chiffre des unités est 8 donc 23 928 est divisible par 2.
Son chiffre des unités n’est ni 0 ni 5 donc 23 928 n’est pas divisible par 5.
La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 est un multiple de 3 donc 23 928 est divisible par 3.
La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 n’est pas un multiple de 9 donc 23 928 n’est pas divisible par 9.

III – Nombres premiers

Définition

Un nombre est premier si et seulement si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Autrement dit un nombre premier ne possède que deux diviseurs.

Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29 sont les nombres premiers inférieurs à 30.

Attention : 1 n’est pas un nombre premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui-même.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier naturel est le produit d’au moins deux nombres premiers.

Décomposer un entier naturel en facteurs premiers, c’est trouver tous ses diviseurs qui sont des nombres premiers tels que le produit de tous ces nombres premier soit égal à l’entier naturel de départ.

Exemple : Décomposons l’entier naturel 60

$60 = 2 \times 30 \rightarrow$ 2
$30 = 2 \times 15 \rightarrow$ 2
$15 = 3 \times 5 \rightarrow$ 3
$5 = 5 \times 1 \rightarrow$ 5

La décomposition est achevée lorsque le dernier quotient trouvé est 1.

Donc $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ .

EXERCICES

Exercice n°1 : Dans la division euclidienne par 7, le reste est 3 et le quotient est 15. Quel est ce nombre ?

Exercice n°2 : Compléter

$25 \times \dots = 425$
$52 = 2 \times \dots = 6 \times \dots = 14 \times \dots$

Exercice n°3 : 5346 est-il un multiple de 9 ?

Exercice n°4 :

Vérifier que : $39 \times 16 = 624$
En déduire, sans poser d’opération, que 4 et 13 sont des diviseurs de 624.

Exercice n°5 : Placer les nombres de 1 à 9. En bout de ligne ou de colonne figure le produit des 3 nombres de la ligne ou de la colonne.

Exercice n°6 : Trouver la valeur du chiffre manquant représenté́ par un trèfle dans le nombre entier $142\clubsuit$ pour qu’il soit divisible par 3 et 5.

Exercice n°7 :

Calculer : $13 \times 11 \times 7$
Montrer que 325 325 est un multiple de 325 ; En déduire que 13, 77 et 143 sont des diviseurs de 325 325.

Exercice n°8 : Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers : $616 \quad 825 \quad 624 \quad 594$ .

Exercice n°9 : Quel sera le jour de la semaine dans 100 jours ? Dans 1000 jours ?

Exercice n°10 : Je suis un nombre divisible par 3, 5 et 9. Je suis compris entre 300 et 350. Qui suis-je ?

Exercice n°11 : Je suis un nombre divisible par 3, 5 et 2. Je suis compris entre 365 et 440, et la somme de mes chiffres est inférieure à 10. Qui suis-je ?

Exercice n°12 : Si on calcule le produit de $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 17$ , quels sont les chiffres des centaines, des dizaines et des unités de ce produit ?