I – Diviseurs et multiples






On dit aussi que est divisible par
ou que
est un multiple de
(ou encore que
divise
).
Exemple : est un multiple de
car
.
est aussi un multiple de
.

est pair si et seulement s’il existe
tel que
.
est pair si et seulement s’il existe
tel que
.



Démonstration : Soient et
deux multiples de
.
Alors il existe deux entiers et
tels que :
et
.
. Ce qui démontre que
et un multiple de
.
On démontre de façon similaire que est aussi un multiple de
.
- Le carré d’un nombre pair est pair.
- Le carré d’un nombre impair est impair.
Démonstration : Soit et supposons que
est impair.
Alors il existe tel que
.
. Donc
est la somme d’un multiple de 2 et 1. Cela démontre que
est impair.
On démontre de façon similaire que le carré d’un nombre pair est pair.
II – Nombres premiers
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 sont les 8 nombres premiers plus petits que 20.
Attention : 1 n’est pas un nombre premier.
Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux. Car :
- les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 et 14.
- les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5, et 15.
Exemple : Décomposons 360
2
2
2
3
3
5
Donc
Simplifier une fraction c’est trouver une fraction irréductible qui lui soit égale. La méthode consiste à déterminer les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Exemple : Simplifions
On sait déjà que
III –
n’est pas un nombre rationnel
L’arithmétique nous permet de démontrer que la racine de 2 ne peut être un nombre rationnel. Pour cela utilise un raisonnement par l’absurde qui consiste à supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer pour arriver à une contradiction qui permet alors d’affirmer que notre supposition était fausse et que son contraire est par conséquent vrai.
Supposons donc que est un nombre rationnel. Alors il existe
et
, tels que
. On suppose de plus que la fraction
est irrationnelle, donc que
et
sont premiers entre eux.
Alors , soit
.
Donc , ce qui implique que
est un nombre pair, donc que
est un nombre pair. Si
était impair, alors une propriété précédente nous apprend que
serait aussi impair, or nous savons que
est pair.
Si est pair, il existe
, tel que
, ce qui donne
.
On sait donc
, ce qui donne
. Ce qui implique que
est pair, donc que
est pair.
Nous venons d’arriver à la conclusion que et
sont pairs, donc divisibles par 2. Donc ils ne sont pas premiers entre eux. Or nous avions supposés qu’ils étaient premiers entre eux !
Nous aboutissons à une contradiction dans notre raisonnement. Notre supposition était fausse et le nombre est irrationnel.