I – Diviseurs et multiples
On dit aussi que est divisible par ou que est un multiple de (ou encore que divise ).
Exemple : est un multiple de car . est aussi un multiple de .
- est pair si et seulement s’il existe tel que .
- est pair si et seulement s’il existe tel que .
Démonstration : Soient et deux multiples de .
Alors il existe deux entiers et tels que : et .
. Ce qui démontre que et un multiple de .
On démontre de façon similaire que est aussi un multiple de .
- Le carré d’un nombre pair est pair.
- Le carré d’un nombre impair est impair.
Démonstration : Soit et supposons que est impair.
Alors il existe tel que .
. Donc est la somme d’un multiple de 2 et 1. Cela démontre que est impair.
On démontre de façon similaire que le carré d’un nombre pair est pair.
II – Nombres premiers
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 sont les 8 nombres premiers plus petits que 20.
Attention : 1 n’est pas un nombre premier.
Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux. Car :
- les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 et 14.
- les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5, et 15.
Exemple : Décomposons 360
- 2
- 2
- 2
- 3
- 3
- 5
Donc
Simplifier une fraction c’est trouver une fraction irréductible qui lui soit égale. La méthode consiste à déterminer les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Exemple : Simplifions
On sait déjà que
III – n’est pas un nombre rationnel
L’arithmétique nous permet de démontrer que la racine de 2 ne peut être un nombre rationnel. Pour cela utilise un raisonnement par l’absurde qui consiste à supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer pour arriver à une contradiction qui permet alors d’affirmer que notre supposition était fausse et que son contraire est par conséquent vrai.
Supposons donc que est un nombre rationnel. Alors il existe et , tels que . On suppose de plus que la fraction est irrationnelle, donc que et sont premiers entre eux.
Alors , soit .
Donc , ce qui implique que est un nombre pair, donc que est un nombre pair. Si était impair, alors une propriété précédente nous apprend que serait aussi impair, or nous savons que est pair.
Si est pair, il existe , tel que , ce qui donne .
On sait donc , ce qui donne . Ce qui implique que est pair, donc que est pair.
Nous venons d’arriver à la conclusion que et sont pairs, donc divisibles par 2. Donc ils ne sont pas premiers entre eux. Or nous avions supposés qu’ils étaient premiers entre eux !
Nous aboutissons à une contradiction dans notre raisonnement. Notre supposition était fausse et le nombre est irrationnel.