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Arithmétique

I – Diviseurs et multiples

Définition
a et b sont des entiers naturels. b est un diviseur de a si l’on peut trouver un entier q tel que a = b \times q.`

On dit aussi que a est divisible par b ou que a est un multiple de b (ou encore que b divise a).

Exemple : 110 est un multiple de 10 car 110=11 \times 10. 11 est aussi un multiple de 110.

Définition
Un nombre est pair si et seulement il est un multiple de 2 S’il n’est pas divisible par 2, c’est un nombre impair.
Propriété
Soit n \in \mathbb{N}.

  • n est pair si et seulement s’il existe k \in \mathbb{N} tel que n = 2k.
  • n est pair si et seulement s’il existe k \in \mathbb{N} tel que n = 2k+1.
Propriété
Soit n \in \mathbb{N}. La somme et le produit de deux multiples de n sont des multiples de n.

Démonstration : Soient a et b deux multiples de n.

Alors il existe deux entiers k et k' tels que : a=kn et b=k'n.

a + b = kn + k'n = (k+k')n. Ce qui démontre que a+b et un multiple de n.

On démontre de façon similaire que ab est aussi un multiple de n.

Propriété
  • Le carré d’un nombre pair est pair.
  • Le carré d’un nombre impair est impair.

Démonstration : Soit a \in \mathbb{N} et supposons que a est impair.

Alors il existe k \in \mathbb{N} tel que a = 2k + 1.

a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1. Donc a^2 est la somme d’un multiple de 2 et 1. Cela démontre que a^2 est impair.

On démontre de façon similaire que le carré d’un nombre pair est pair.

II – Nombres premiers

Définition
Un nombre est premier si et seulement s ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 sont les 8 nombres premiers plus petits que 20.

Attention : 1 n’est pas un nombre premier.

Définition
Deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1

Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux. Car :

  • les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 et 14.
  • les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5, et 15.
Théorème fondamental de l'arithmétique
Tout entier naturel possède une décomposition unique en facteurs premiers.

Exemple : Décomposons 360

  • 360 = 2 \times 180 \rightarrow2
  • 180 = 2 \times 90 \rightarrow2
  • 90 = 2 \times 45 \rightarrow2
  • 45 = 3 \times 15 \rightarrow3
  • 15 = 3 \times 5 \rightarrow3
  • 5 = 5 \times 1 \rightarrow5

Donc 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5

Définition
Une fraction est irréductible si et seulement si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Simplifier une fraction c’est trouver une fraction irréductible qui lui soit égale. La méthode consiste à déterminer les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple : Simplifions \dfrac{360}{126}

On sait déjà que 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5

126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7

\dfrac{360}{126} = \dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{2^2  \times 5}{7} = \dfrac{20}{7}

III – \sqrt{2} n’est pas un nombre rationnel

L’arithmétique nous permet de démontrer que la racine de 2 ne peut être un nombre rationnel. Pour cela utilise un raisonnement par l’absurde qui consiste à supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer pour arriver à une contradiction qui permet alors d’affirmer que notre supposition était fausse et que son contraire est par conséquent vrai.

Supposons donc que \sqrt{2} est un nombre rationnel. Alors il existe p \in \mathbb{Z} et q \in \mathbb{N}, tels que \sqrt{2} = \dfrac{p}{q}. On suppose de plus que la fraction \dfrac{p}{q} est irrationnelle, donc que p et q sont premiers entre eux.

Alors (\sqrt{2})^2 = \left ( \dfrac{p}{q} \right )^2, soit 2 = \dfrac{p^2}{q^2}.

Donc p^2 = 2q^2, ce qui implique que p^2 est un nombre pair, donc que p est un nombre pair. Si p était impair, alors une propriété précédente nous apprend que p^2 serait aussi impair, or nous savons que p^2 est pair.

Si p est pair, il existe k \in \mathbb{Z}, tel que p = 2k, ce qui donne p^2 = 4k^2.

On sait p^2 = 2q^2 donc 4k^2 = 2q^2, ce qui donne 2k^2 = q^2. Ce qui implique que q^2 est pair, donc que q est pair.

Nous venons d’arriver à la conclusion que p et q sont pairs, donc divisibles par 2. Donc ils ne sont pas premiers entre eux. Or nous avions supposés qu’ils étaient premiers entre eux !

Nous aboutissons à une contradiction dans notre raisonnement. Notre supposition était fausse et le nombre \sqrt{2} est irrationnel.