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Applications linéaires

    \[ f \in L(E,F) \iff \forall (u,v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad f(u+v)=f(u)+f(v), \quad f(\lambda u) = \lambda f(u) \]

La composition de deux applications linéaires est une application linéaire.

Soient f \in L(E,F) et g \in L(F,G) :

    \[ \text{Im } g \ \circ \ f \subset \text{Im }g \qquad \qquad \text{Ker }f \subset \text{Ker } g \ \circ \ f \quad \quad g \ \circ \ f = 0 \iff \text{Im } f \subset \text{Ker }g \]

Soit f \in L(E,F)

  • f(0_E) = 0_F et f(-u) = -f(u)
  • Si A est un SEV de E alors f(A) est un SEV de F. Si B est un SEV de F alors f^{-1}(B) est un SEV de E.
  • Im f = f(E) et Ker f = f^{-1}\{0_F\}
  • f est injective \iff Ker f = \{0_E\}
  • f est surjective \iff Im f = F
  • L’image d’une famille liée est une famille liée. L’image réciproque d’une famille libre est une famille libre.
  • L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
  • (x_1,x_2,\dots,x_n) est une famille libre et si (a,x_1,x_2,\dots,x_n) est une famille liée, alors a est égal à une unique combinaison linéaire de (x_1,x_2,\dots,x_n).
  • f est caractérisée par ses restrictions à deux SEV supplémentaires dans E.
  • Im f est isomorphe à tout SEV supplémentaire de Ker f dans E.

groupe linéaire de E : GL(E), l’ensemble des automorphismes sur E, est stable par la composition.

Homothéties :

Ce sont des endomorphismes. h_\alpha = \alpha Id_E et (h_\alpha)^{-1} = h_{\dfrac{1}{\alpha}} si \alpha \ne 0.

Les homothéties commutent avec tous les endomorphismes.

    \[ E = E_1 \oplus E_2 \quad f_1 \in L(E_1,F), f_2 \in L(E_2,F) \quad \exists ! f \in L(E,F), \quad \forall x \in E, x = x_1 + x_2, \quad f(x) = f_1 (x_1) + f_2 (x_2) \]

Projecteurs

E = F \oplus G, \quad p projecteur sur F parallèlement à G

    \[ \forall u \in E, \quad \exists (u,v) \in F \times G, \quad u = v + w \quad p(u) = p(v + w) = p(v) + p(w) = v \]

Propriétés :
Si p est un projecteur sur F parallèlement à G alors Id_E - p est un projecteur sur G parallèlement à F.

    \[ \text{Im } p = F = \text{Ker } (Id_E - p) \qquad \text{Ker } p = G = \text{Im } (Id_E - p) \qquad p \ \circ \ p = p \qquad E = \text{Im } p \ \oplus \ \text{Ker } p \]

Les projecteurs sont exactement les endomorphismes idempotents.

Symétries

E = F \oplus G, \quad s symétrie par rapport à F parallèlement à G

    \[ \forall u \in E, \quad \exists (u,v) \in F \times G, \quad u = v + w \quad s(u) = s(v + w) = s(v) + s(w) = v - w \]

Propriétés :

    \[ \qquad s \ \circ \ s = Id_E \qquad s \text{ bijective et } s^{-1} = s \qquad \text{Im } s = E \qquad \text{Ker } s = \{0\} \]

s est une symétrie si et seulement si p = \dfrac{1}{2}(s + Id_E) est un projecteur.

    \[ \text{Ker } (s-Id_E) = F = \text{Im }p \qquad \text{Ker } (s+Id_E) = G = \text{Ker }p \qquad E = \text{Ker } (s-Id_E) \ \oplus \ \text{Ker } (s+Id_E) \]

Les symétries sont exactement les endomorphismes involutifs.

Endomorphismes nilpotents

Soit u \in L(E). L’indice de u est le plus petit entier naturel k tel que u^k = 0 et u^{k-1} \ne 0.

Propriétés dans un espace vectoriel de dimension finie n :

Soit un endomorphisme nilpotent u d’indice k.

  • rg(u) \le n-1
  • Si x \in E vérifie u^{k-1}(x) \ne 0 alors la famille (x,u(x),u^2(x),\dots,u^{k-1}(x)) est libre.
  • k \le n
  • u^n = 0. C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit nilpotent.

Dans un espace vectoriel de dimension finie

Une application linéaire est déterminée de manière unique par l’image d’une base : soit (e_1, e_2, \dots,e_n) une base de E. \forall (u_1,u_2,\dots,u_n ) \in F^n, \exists ! \phi \in L(E,F) telle que \forall i \in [\![1\,;n]\!], \phi(e_i) = u_i

Propriétés :

  • Im \phi = Vect (\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n)).
  • \phi est injective si et seulement si (\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n)) est une famille libre de F.
  • \phi est surjective si et seulement si F = Vect (\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n)).
  • \phi est un isomorphisme si et seulement si (\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n)) est une base de F.
  • Deux espaces vectoriels de même dimension finie sont isomorphes.
  • Donc tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à \mathbb{K}^n.
  • Si dim⁡ E = dim ⁡F alors : \phi \iff \phi injective \iff \phi surjective \iff \phi bijective

Rang d’une application linéaire

    \[ \text{rg } \phi = \text{ dim Im } \phi \]

Propriétés :

    \[ \text{rg } \phi \le \text{ dim} ⁡E \qquad \text{rg } (\phi \ \circ \ \psi) \le \min (\text{rg } \phi,\text{rg } \psi) \]

Le rang d’une application linéaire est invariant par composition par un isomorphisme.

Théorème du rang : dim Ker \phi + dim⁡ Im \phi = dim⁡ E = dim Ker \phi + rg \phi

\phi \in L(E)E = Ker \phi \ \oplus Im \phi \iff ker \phi + Im \phi est une somme directe.

Équations linéaires : f(x) = b

  • Si b \notin Im f alors pas de solution
  • Soit x_0 une solution particulière. L’ensemble des solutions est x_0 +Ker f.