Les deux angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure.
Explications :
Soit un triangle ABC isocèle en C. On prolonge les côtés AC et BC. Soit D un point de la demi-droite [CA). Avec le compas, on place sur la demi-droite [CB) un point E tel que CD = CE.
On complète la figure avec les segments [BD] et [AE]. On observe alors que les triangles CDB et CAE ont deux côtés deux à deux de même longueur : CD = CE et CA = CB. De plus ces deux triangles ont un angle en commun, 
, situé entre les deux côtés deux à deux égaux.
En vertu de la proposition I.4 d’Euclide, les triangles CDB et CAE sont isométriques. Ce qui permet d’affirmer que DB = AE.
Comme CA = CB et que CD = CE, on sait que AD = BE. On vient de démontrer que DB = AE. On en conclut que les triangles ADB et AEB sont isométriques et que les angles 
et 
ont la même mesure.
Puisque les points C, A et D sont alignés, 
mais 
. Donc 
.
De la même manière : 
. On a démontré que 
. Par conséquent 
.
Remarque : Il s’agit de la proposition I.5 des Éléments d’Euclide. La démonstration d’Euclide est un peu plus laborieuse car il n’utilise pas à ce stade la notion d’angle plat : Puisque les points C, A et D sont alignés…
