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Angles égaux d’un triangle isocèle

Les deux angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure.

Explications :

Soit un triangle ABC isocèle en C. On prolonge les côtés AC et BC. Soit D un point de la demi-droite [CA). Avec le compas, on place sur la demi-droite [CB) un point E tel que CD = CF.

On complète la figure avec les segments [BD] et [AE]. On observe alors que les triangles CDB et CAE ont deux côtés deux à deux de même longueur : CD = CE et CA = CB. De plus ces deux triangles ont un angle en commun, \widehat{ACB}, situé entre les deux côtés deux à deux égaux.

En vertu de la proposition I.4 d’Euclide, les triangles CDB et CAE sont isométriques. Ce qui permet d’affirmer que DB = AE.

Comme CA = CB et que CD = CE, on sait que AD = BE. On vient de démontrer que DB = AE. On en conclut que les triangles ADB et AEB sont isométriques et que les angles \widehat{DAB} et \widehat{ABE} ont la même mesure.

Puisque les points C, A et D sont alignés, \widehat{DAC}=\pi mais \widehat{DAC} = \widehat{DAB}+\widehat{BAC}. Donc \widehat{BAC} =\pi -\widehat{BAC}.

De la même manière : \widehat{CBA} =\pi -\widehat{ABE}. On a démontré que \widehat{DAB} = \widehat{ABE}. Par conséquent \widehat{CBA} = \widehat{DAB}.

Remarque : Il s’agit de la proposition I.5 des Éléments d’Euclide. La démonstration d’Euclide est un peu plus laborieuse car il n’utilise pas à ce stade la notion d’angle plat : Puisque les points C, A et D sont alignés…