Angles de 30°, 45° et 90°

On peut aussi construire des angles de 30°, 45° et 60° ainsi :

  1. On trace une demi-droite [AB) et la demi-droite perpendiculaire à [AB) passant par A.
  2. On trace un cercle de centre A et de rayon AB. Ce cercle coupe la perpendiculaire à [AB) au point C.
  3. On place M milieu du segment [AB] et on trace la perpendiculaire à [AB) passant par M. Elle coupe le cercle au point F. L’angle \widehat{BAF} mesure 60°.
  4. On place N milieu du segment [AC] et on trace la perpendiculaire à [AC) passant par N. Elle coupe le cercle au point D. L’angle \widehat{BAD} mesure 30°.
  5. On place le point E intersection des droites (MF) et (ND). L’angle \widehat{MAE} mesure 45°.

Explications :

On fait appel à la trigonométrie. N est le milieu de [AC] donc 2 \times AN = AC = AD. Or \sin{\widehat{BAD}}=\dfrac{AN}{AD} = 0,5, ce qui correspond au sinus d’un angle de 30°.

M est le milieu de [AB] donc 2 \times AM = AB = AF. Or  \cos{\widehat{BAF}}=\dfrac{AM}{AF} = 0,5, ce qui correspond au cosinus d’un angle de 60°.

Par construction le quadrilatère AMEN est un carré. Donc la demi-droite [AE) porte la diagonale de ce carré et par conséquent \widehat{MAE}=45^{\circ}.

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