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Aire du poisson

Etant donnés :

  • un carré ABCD dont chaque côté mesure a;
  • un quart de cercle de rayon a et de centre B;
  • deux demi-cercles de rayon a/2 et de centre E et F.

On démontre que l’aire R est égale à l’aire S.

Explications :

L’aire R s’obtient en partant l’aire du quart de disque de centre B et de rayon, et en lui retirant les deux demi-disques de rayon a/2 et de centre E et F. Mais en procédant ainsi on retire deux fois l’aire S, donc pour obtenir l’aire R, il faut ajouter une fois l’aire S.

L’aide du quart de disque est  : π x a2 / 4

Calculer l’aire de deux demi-disques de même rayon revient à calculer l’aire d’un disque entier de même rayon : π x (a/2)2 = π x a2 / 4.

Donc R = π x a2 / 4 –  (π x a2 / 4) + S. Donc R = S.

Calcul de l’aire S :

L’aire S s’obtient en retirant du carré EBFG les deux aires grises.

Une aire grise s’obtient en retirant du carré EBFG le quart de disque de centre F (ou E) et de rayon a/2, soit :

L’aire de EBFG : (a/2)2 = a2/ 4

L’aire du quart de disque : π x (a/2)2 / 4 = π x a2 / 16

Donc une aire grise = a2/ 4 – π x a2 / 16 et deux aires grises = a2/ 2 – π x a2 / 8

On obtient alors pour S : a2/ 4 – (a2/ 2 – π x a2 / 8) = a2/ 4 + π x a2 / 8 = a2 x (2 + π) / 8