Etant donnés :
- un carré ABCD dont chaque côté mesure a;
- un quart de cercle de rayon a et de centre B;
- deux demi-cercles de rayon
et de centre E et F.
On démontre que l’aire R est égale à l’aire S.
Explications :
L’aire R s’obtient en partant de l’aire du quart de disque de centre B et de rayon a, et en lui retirant les deux demi-disques de rayon et de centre E et F. Mais en procédant ainsi on retire deux fois l’aire S, donc pour obtenir l’aire R, il faut ajouter une fois l’aire S.
L’aide du quart de disque est : 
.
Calculer l’aire de deux demi-disques de rayon revient à calculer l’aire d’un disque entier de même rayon : 
.
Donc 
. Donc R = S.
Calcul de l’aire S :
Soit 
l’aire du carré EBFG et 
l’aire de chaque zone grise (dessin de droite). Alors 
.
Soit 
l’aire du quart du disque de centre F (ou E) et de rayon . Alors 
.
Donc 
.
et 
Donc 
.
