I – Définition et mode de génération

Définition : Définition d'une suite numérique

Soit $n_0 \in \mathbb{N}$ . Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie pour tout entier naturel $n \ge n_0$ à valeur dans $\mathbb{R}. \qquad (u_n) : n \rightarrow u_n$

Exemple : $u_0 = 2 \qquad u_1 = 3 \qquad u_2 =-10 \qquad u_3 = 27,78$

Définition explicite d'une suite numérique

Une suite est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme de la suite directement en fonction de $n$ .

Exemple : La suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = 2n+1$ est définie explicitement. En donnant à $n$ différentes valeurs, on obtient par le calcul $v_n : \qquad v_0 = 1 \qquad v_1 = 3 \qquad v_2 = 5$

Définition par récurrence d'une suite numérique

Une suite est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par la donnée de son premier terme et d’une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent. On donne donc l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . Cette relation est appelée relation de récurrence.

Exemple : La suite $(w_n)$ définie sur $w_0 = 4$ et $\mathbb{N}$ par $w_{n+1} = 0,5w_n + 1$ . $(w_n)$ est définie par récurrence. Ainsi pour calculer $w_3$ , il faut calculer $w_1, w_2$ d’abord : $w_1 =0,5w_0+1=3 \qquad w_2 = 0,5w_1+1=2,5 \qquad w_3 = 2w_2+1 = 2,25$ .

II – Représentation graphique d’une suite

Une suite $(u_n)$ peut être représentée soit en plaçant les réels $u_0, u_1, u_2, ...$ sur une droite graduée, soit en plaçant les points $(n ; u_n)$ dans un repère.

Exemple : la suite $(w_n)$ définie précédemment se représente des deux façons suivantes :

III – Sens de variation

Définition : Définition

Soit $n_0 \in \mathbb{N}$ .

Une suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si et seulement si pour tout entier naturel $n \ge n_0, \quad u_{n+1} \ge u_n$ .

Une suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si et seulement si pour tout entier naturel $n \ge n_0, \quad u_{n+1} \le u_n$ .

Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Exemple : La suite $(w_n)$ définie précédemment est décroissante.

IV – Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si et seulement s’il existe un nombre réel $r$ constant tel que pour tout entier naturel $n, \quad u_{n+1} = u_n + r$ . Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite $(u_n)$ .

Exemple : La suite $(u_n)$ définit par $u_0 = -3$ et $u_{n+1} = u_n + 2$ est la suite arithmétique de premier terme $-3$ et de raison $2$ .

Propriété

Soit suite $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . Pour tous entiers $n$ et $p \quad u_p = u_n + (p-n)r$ .

Démonstration : Supposons que $n \le p$ .

$u_p = u_{p-1} + r \qquad u_{p-1} = u_{p-2} + r \qquad$ donc $u_p = u_{p-2} + 2r$

$u_{p-2} = u_{p-3} + r \qquad$ donc $u_p = u_{p-3} + 3r$ et ainsi de suite jusqu’à arriver à $u_n$ .

Pour passer de $u_n$ à $u_p$ , il faut ajouter $p-n$ fois la raison à $u_n$ .

Supposons que $n \ge p$ . Alors en utilisant la première partie de la démonstration, on peut écrire que $u_n = u_p + (n-p)r$ donc $u_p = u_n - (n-p)r = u_n + (p-n)r$ .

Conséquence : définition explicite d'une suite arithmétique

Soit suite $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . Alors pour tout entier naturel $n, \quad u_n = u_0 + nr$ .

Propriété

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Démonstration : Posons $S = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n$ . On peut aussi écrire $S = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1$ .

Alors $2S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + \cdots + ((n-1)+2) + (n+1)$

Soit $2S = (1 + n) + (1 + n) + \cdots + (1 + n) + (1 + n) = n \times (n+1)$ .

Conclusion : $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Propriété : monotonie d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison $r$ est :

croissante si $r>0$
décroissante si $r<0$
constante si $r=0$

Démonstration : Soit suite $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . Alors $u_{n+1} = u_n + r$ . Donc $u_{n+1} - u_n = r$

Si $r>0$ alors $u_{n+1} - u_n > 0$ donc $u_{n+1} > u_n$ . Ce qui prouve que la suite est croissante.

Si $r<0$ alors $u_{n+1} - u_n <0$ donc $u_{n+1} < u_n$ . Ce qui prouve que la suite est décroissante.

Si $r=0$ alors $u_{n+1} - u_n = 0$ donc $u_{n+1} = u_n$ . Ce qui prouve que la suite est constante.

V – Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si et seulement s’il existe un nombre réel non nul q constant tel que pour tout entier naturel $n, \quad u_{n+1} = q \times u_n$ . Le nombre q est appelé la raison de la suite $(u_n)$ .

Exemple : La suite géométrique $(u_n)$ est définit par $u_0 = 1$ et raison 2. $u_1 = 2 \times u_0 = 2 \times 1 \qquad u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = 4 \qquad u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = 8$