3 points alignés avec un carré et deux triangles équilatéraux

Étant donné un carré ABCD et deux triangles équilatéraux ABE et BCF de longueur de côté égale à celle du carré, on montre que les trois points D, E et F sont alignés.

Pour les deux explications qui suivent, il est intéressant de commencer par déterminer les mesures de tous les angles de la figure, à l’aide des propriétés des carrés, des triangles rectangles, des triangles isocèles ou équilatéraux.

Première explication : on va démontrer que DF = DE + EF.

Pour simplifier les calculs, on prend la longueur du côté du carré comme unité de mesure.

Formule d’Al-Kashi dans le triangle ADE : DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \times AD \times AE \times \cos \widehat{DAE}

DE^2 = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 1 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}. Donc DE = \sqrt{2 - \sqrt{3}}

Formule d’Al-Kashi dans le triangle CDF : DF^2 = CD^2 + CF^2 - 2 \times CD \times CF \times \cos \widehat{DCF}

DF^2 = 1 + 1 + 2 \times 1 \times 1 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}. Donc DF = \sqrt{2 + \sqrt{3}}

Théorème de Pythagore dans le triangle EBF rectangle en B : EF^2 = EB^2 + BF^2 = 1 + 1 = 2. Donc EF = \sqrt{2}

Il reste à vérifier par le calcul que \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2}. On y arrive en élevant deux fois au carré les membres de l’expression.

Seconde explication : on va démontrer que l’angle \widehat{DEF} est plat.

\widehat{DEF} = \widehat{DEA} + \widehat{AEB} + \widehat{BEF} = 75 + 60 + 45 = 180.

 

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