Somme de sinus et de cosinus

La rigueur mathématique imposerait de raisonner avec des mesures algébriques. Par commodité, on se limite ici à des angles \alpha et \beta positifs et inférieurs à 90°.

Dans le cercle unitaire, soient les angles \widehat{COA} et \widehat{COB} de mesures respectives \alpha et \beta. Alors les coordonnées respectives de A et de B sont (\cos \alpha ; \sin \alpha) et (\cos \beta ; \sin \beta)

Soit M le milieu du segment [AB]. Alors les coordonnées de M sont \left ( \dfrac{\cos \alpha + \cos \beta}{2} ; \dfrac{\sin \alpha + \sin \beta}{2} \right ).

Le triangle OAB est isocèle puisque OA=OB Donc la droite (OM) est à la fois une bissectrice et une médiatrice issue de O. L’angle \widehat{AOM} mesure \dfrac{\beta - \alpha}{2}. Par conséquent : OM = \cos \dfrac{\beta - \alpha}{2}

Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses.\widehat{HOM} = \widehat{HOA} + \widehat{AOM}. \widehat{HOA} mesure \alpha. Par conséquent la mesure de \widehat{HOM} est \alpha + \dfrac{\beta - \alpha}{2} = \dfrac{\beta + \alpha}{2}

Alors OH = \cos \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times OM = \cos \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times \cos \dfrac{\beta - \alpha}{2}.

Par ailleurs HM = \sin \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times OM = \sin \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times \cos \dfrac{\beta - \alpha}{2}.

OH et HM sont les coordonnées du point M, exprimées précédemment. Cela donne donc :

  • OH = \dfrac{\cos \alpha + \cos \beta}{2} = \cos \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times \cos \dfrac{\beta - \alpha}{2}
  • HM = \dfrac{\sin \alpha + \sin \beta}{2} = \sin \dfrac{\beta + \alpha}{2} \times \cos \dfrac{\beta - \alpha}{2}

Voir : Sinus et cosinus de sommes

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