Cosinus et sinus d’une somme d’angles

L’objectif est de retrouver la formule donnant le sinus et le cosinus d’une somme d’angles à partir d’une construction géométrique. Pour simplifier la démonstration, on considère deux angles positifs dont la somme est inférieure à 90°.

Solution n°1

Construction :

  • un triangle OAB rectangle en A. La mesure de l’angle \widehat{AOB} est \alpha.
  • un triangle OBD rectangle en B. La mesure de l’angle \widehat{BOD} est \beta.
  • Sur la demi-droite [AB), on place le point C de telle manière que le triangle BCD soit rectangle en C.
  • Sur la demi-droite [CD), on place le point E de telle manière que le triangle ODE soit rectangle en E.

De cette construction, il vient que la mesure de l’angle \widehat{EDO} est \alpha + \beta et que celle de \widehat{CBD} est \alpha.

Afin de simplifier les calculs, on convient de prendre la distance OD comme unité de mesure. Alors :

Dans le triangle OBD :

  • \cos \beta = OB
  • \sin \beta = BD ;

Dans le triangle OAB :

  • \cos \alpha =\dfrac{OA}{OB} donc OA = \cos \alpha \times OB = \cos \alpha \times \cos \beta.
  • \sin \alpha =\dfrac{AB}{OB} donc AB = \sin \alpha \times OB = \sin \alpha \times \cos \beta.

Dans le triangle BCD :

  • \cos \alpha =\dfrac{BC}{BD} donc BC = \cos \alpha \times BD = \cos \alpha \times \sin \beta
  • \sin \alpha =\dfrac{DC}{BD} donc DC = \sin \alpha \times BD = \sin \alpha \times \sin \beta

dans le triangle ODE :

  • \cos (\alpha +\beta) = ED = EC - DC = OA - DC = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
  • \sin (\alpha +\beta) = OE = AC = AB + BC = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Solution n°2

1ère étape : Aire d’un triangle connaissant la mesure d’un angle et les longueurs des deux côtés de cet angle.

L’aire du triangle ABC est donnée par l’expression : \dfrac{HC \times AB}{2}.

\sin \alpha = \dfrac{HC}{AC} donc HC = AC \times \sin \alpha.

L’aire du triangle devient : \dfrac{AB \times AC \times \sin \alpha}{2}.

2ème étape : \sin (\alpha +\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

On écrit que l’aire du triangle ABC est la sommes des aires des triangles ABH et ACH : \dfrac{AB \times AC \times \sin (\alpha + \beta) }{2} = \dfrac{AB \times AH \times \sin (\beta) }{2} + \dfrac{AC \times AH \times \sin (\alpha) }{2}. (1)

Dans le triangle ABH : AH = AB \times \cos \beta et dans le triangle ACH : AH = AC \times \cos \alpha.

L’égalité (1) devient : AB \times AC \times \sin (\alpha + \beta) = AB \times (AC \times \cos \alpha) \sin \beta + AC \times (AB \times \cos \beta) \sin \alpha.

Après simplification par AB \times AC, on obtient : \sin (\alpha +\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Voir : Somme de sinus et de cosinus

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