I – Introduction

En sixième nous avons appris à placer des nombres sur une demi-droite graduée comme ceci : L’origine est le point d’abscisse 0 et l’abscisse du point C est le nombre 4.

En cinquième on va aussi s’intéresser à ce qu’il se passe à gauche de l’origine. On va s’intéresser à la droite entière et pas uniquement à la demi-droite.

Les abscisses des points à droite de l’origine seront appelées les nombres positifs et les abscisses des points à gauche de l’origine seront appelées les nombres négatifs.

Définitions

Les nombres supérieurs ou égaux à 0 sont appelés les nombres positifs.
Les nombres inférieurs ou égaux à 0 sont appelés les nombres négatifs.
0 est considéré à la fois comme un nombre positif et un nombre négatif.
Les nombres positifs et les nombres négatifs forment l’ensemble des nombres relatifs.

Notation

Un nombre positif s’écrit avec un signe $+$ mais ce signe n’est pas obligatoire
Un nombre négatif s’écrit toujours avec un signe $-$ .

Exemples :

$+4,9$ ou $4,9$ est un nombre positif. $\dfrac{2}{3}$ est un nombre positif.
$-7$ est un nombre négatif. $-\dfrac{7}{5}$ est un nombre positif.

II – Repérage sur une droite

Définitions

Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :

un point O appelé origine de la droite graduée ;
une unité.
Tout point d’une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.

Exemple :

L’abscisse de l’origine O est le nombre 0.
Les points A, B et C ont pour abscisses respectives $4$ ; $-2,5$ et $4$ .
On note $A(-4) ; B(-2,5)$ et $C(4)$ .

Définition

Soit un nombre relatif, abscisse d’un point M de la droite graduée d’origine O. La distance à zéro de ce nombre relatif est la distance OM.

Exemple :

La distance à zéro du nombre $-2,5$ est la distance OB car B a pour abscisse $-2,5$ .
Elle vaut donc 2,5.

La distance à zéro du nombre $4$ est la distance OC. Elle est donc égale à 4.

Définition

Deux nombres relatifs qui ont des signes contraires et qui ont la même distance à zéro sont dits opposés.

Exemple : les nombres $4$ et $-4$ ont la même distance à zéro. ils sont opposés.

Propriété

Deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.

Exemple : les points $A(-4)$ et C(4) sont bien symétriques par rapport à l’origine car ils ont la même distance à zéro qui vaut 4 et leurs abscisses sont de signe opposé.

III – Comparaison de nombres relatifs

Propriétés

Deux nombres relatifs positifs sont rangés dans l’ordre de leur distance à zéro.
Un nombre relatif négatif est toujours inférieur à un nombre relatif positif.
Deux nombres relatifs négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leur distance à zéro.

Exemple : $-12 < -7 < 0 < 2 < 19$

IV – Addition de deux nombres relatifs

Propriétés

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leur distance à zéro et on garde le signe commun.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leur distance à zéro et le signe du résultat est le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

Exemple : On veut calculer $A = (-7) +(-3)$ .

La distance à zéro de $-7$ est $7$
La distance à zéro de $-3$ est $3$
La somme des distances à zéro est : $7+3=10$ .
On rajoute le signe commun : $A= -10$

Remarque : La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif.

$(+7)+(+3) = 7 + 3 = 10$ . C’est l’addition de deux nombres telle que nous la connaissions en classe de sixième.

Exemple : On veut calculer $B = (-7) +(+3)$ .

La distance à zéro de $-7$ est $7$
La distance à zéro de $+3$ est $3$ . C’est donc $-7$ qui a la plus grande distance à zéro.
La soustraction de leur distance à zéro est : $7-3=4$ .
On ajoute le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro : $B = -4$

Exemple : $(-1,3)+(+1,3) =0$ car les deux nombres sont oposés.

Méthode

Pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs, on peut commencer par regrouper, d’un côté, les nombres positifs et calculer leur somme, et de l’autre, les nombres négatifs et calculer leur somme.

On peut aussi commencer par regrouper des termes opposés s’il y en a.

Exemple : On veut calculer $C=(-4,3)+(+10,8)+(+3,7)+(-12)$

La somme des deux nombres positifs est : $(+10,8)+(3,7)=+14,4=14,5$
La somme des deux nombres négatifs est : $(-4,3)+(-12) = -16,3$
Donc $C = 14,5 + (-16,3)$
La distance à zéro de $14,5$ est $14,5$
La distance à zéro de $-16,3$ est $16,3$ . C’est donc $-16,3$ qui a la plus grande distance à zéro.
La soustraction de leur distance à zéro est : $16,3-14,5=1,8$ .
Finalement $C = -1,8$

V – Repérage dans le plan

Pour se repérer sur une carte, on utilise souvent les points cardinaux : nord, ouest, sud et est. La droite ouest-est et la droite sud-nord sont perpendiculaires.

On peut ensuite choisir Paris comme point de départ de notre voyage. Alors la ville de Lyon se situe au sud-est de la ville de Paris et la ville de Brest se situe à l’ouest de Paris.

Enfin, pour être plus précis, on choisit une unité de longueur, par exemple le kilomètre. On peut alors repérer que Lyon se situe à environ 210 km à l’est de Paris et à 330 km au sud de Paris.

Définition : Repère orthonormé

Un repère orthonormé d’un plan est constitué de deux axes orientés et perpendiculaires. Pour chaque axe, on détermine une unité de mesure commune.

Propriété

Tout point d’un plan muni d’un repère orthonormé peut être repéré de façon unique par un couples de nombres relatifs, appelées coordonnées. La coordonnée de l’axe horizontal s’appelle l’abscisse. La coordonnée de l’axe vertical s’appelle l’ordonnée.

Exemples :