Applications linéaires

$f \in L(E,F) \iff \forall (u,v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad f(u+v)=f(u)+f(v), \quad f(\lambda u) = \lambda f(u)$

La composition de deux applications linéaires est une application linéaire.

Soient $f \in L(E,F)$ et $g \in L(F,G)$ :

$\text{Im } g \ \circ \ f \subset \text{Im }g \qquad \qquad \text{Ker }f \subset \text{Ker } g \ \circ \ f \quad \quad g \ \circ \ f = 0 \iff \text{Im } f \subset \text{Ker }g$

Soit $f \in L(E,F)$ ∶

$f(0_E) = 0_F$ et $f(-u) = -f(u)$
Si $A$ est un SEV de $E$ alors $f(A)$ est un SEV de $F$ . Si $B$ est un SEV de $F$ alors $f^{-1}(B)$ est un SEV de $E$ .
Im $f = f(E)$ et Ker $f = f^{-1}\{0_F\}$
$f$ est injective $\iff$ Ker $f = \{0_E\}$
$f$ est surjective $\iff$ Im $f = F$
L’image d’une famille liée est une famille liée. L’image réciproque d’une famille libre est une famille libre.
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.
$(x_1,x_2,\dots,x_n)$ est une famille libre et si $(a,x_1,x_2,\dots,x_n)$ est une famille liée, alors $a$ est égal à une unique combinaison linéaire de $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ .
$f$ est caractérisée par ses restrictions à deux SEV supplémentaires dans E.
Im $f$ est isomorphe à tout SEV supplémentaire de Ker $f$ dans $E$ .

groupe linéaire de E : $GL(E)$ , l’ensemble des automorphismes sur $E$ , est stable par la composition.

Homothéties :

Ce sont des endomorphismes. $h_\alpha = \alpha Id_E$ et $(h_\alpha)^{-1} = h_{\dfrac{1}{\alpha}}$ si $\alpha \ne 0$ .

Les homothéties commutent avec tous les endomorphismes.

$E = E_1 \oplus E_2 \quad f_1 \in L(E_1,F), f_2 \in L(E_2,F) \quad \exists ! f \in L(E,F), \quad \forall x \in E, x = x_1 + x_2, \quad f(x) = f_1 (x_1) + f_2 (x_2)$

Projecteurs

$E = F \oplus G, \quad p$ projecteur sur $F$ parallèlement à $G$

$\forall u \in E, \quad \exists (u,v) \in F \times G, \quad u = v + w \quad p(u) = p(v + w) = p(v) + p(w) = v$

Propriétés :
Si $p$ est un projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ alors $Id_E - p$ est un projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ .

$\text{Im } p = F = \text{Ker } (Id_E - p) \qquad \text{Ker } p = G = \text{Im } (Id_E - p) \qquad p \ \circ \ p = p \qquad E = \text{Im } p \ \oplus \ \text{Ker } p$

Les projecteurs sont exactement les endomorphismes idempotents.

Symétries

$E = F \oplus G, \quad s$ symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$

$\forall u \in E, \quad \exists (u,v) \in F \times G, \quad u = v + w \quad s(u) = s(v + w) = s(v) + s(w) = v - w$

Propriétés :

$\qquad s \ \circ \ s = Id_E \qquad s \text{ bijective et } s^{-1} = s \qquad \text{Im } s = E \qquad \text{Ker } s = \{0\}$

$s$ est une symétrie si et seulement si $p = \dfrac{1}{2}(s + Id_E)$ est un projecteur.

$\text{Ker } (s-Id_E) = F = \text{Im }p \qquad \text{Ker } (s+Id_E) = G = \text{Ker }p \qquad E = \text{Ker } (s-Id_E) \ \oplus \ \text{Ker } (s+Id_E)$

Les symétries sont exactement les endomorphismes involutifs.

Endomorphismes nilpotents

Soit $u \in L(E)$ . L’indice de u est le plus petit entier naturel k tel que $u^k = 0$ et $u^{k-1} \ne 0$ .

Propriétés dans un espace vectoriel de dimension finie $n$ :

Soit un endomorphisme nilpotent $u$ d’indice $k$ .

$rg(u) \le n-1$
Si $x \in E$ vérifie $u^{k-1}(x) \ne 0$ alors la famille $(x,u(x),u^2(x),\dots,u^{k-1}(x))$ est libre.
$k \le n$
$u^n = 0$ . C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit nilpotent.

Dans un espace vectoriel de dimension finie

Une application linéaire est déterminée de manière unique par l’image d’une base : soit $(e_1, e_2, \dots,e_n)$ une base de $E$ . $\forall (u_1,u_2,\dots,u_n ) \in F^n, \exists ! \phi \in L(E,F)$ telle que $\forall i \in [\![1\,;n]\!], \phi(e_i) = u_i$

Propriétés :

Im $\phi$ = Vect $(\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n))$ .
$\phi$ est injective si et seulement si $(\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n))$ est une famille libre de F.
$\phi$ est surjective si et seulement si $F$ = Vect $(\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n))$ .
$\phi$ est un isomorphisme si et seulement si $(\phi(e_1),\phi(e_2),\dots,\phi(e_n))$ est une base de $F$ .

Deux espaces vectoriels de même dimension finie sont isomorphes.
Donc tout espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ .
Si dim⁡ $E$ = dim $⁡$ F alors : $\phi \iff \phi$ injective $\iff \phi$ surjective $\iff \phi$ bijective