Fonctions (limites et continuité)

APPLICATIONS

Soient $f : E \longrightarrow F \qquad A \subset E \qquad B \subset F$

$A \subset f^{-1} (f(A)) \qquad \qquad f(f^{-1}(B) \subset B \qquad \qquad f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$

$f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1} (B_1) \cup f^{-1} (B_2) \qquad \qquad f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$

Remarque : Si $f$ est injective alors la dernière inclusion est une égalité.

Cas particulier : $E$ et $F$ sont des ensembles finis.

$f \text{ injective } \implies card E \le card F \qquad \qquad f \text{ surjective } \implies card E \ge card F \qquad \qquad f \text{ bijective } \implies card E = card F$

$card E = card F \implies ( f \text{ injective } \iff f \text{ surjective } \iff f \text{ bijective })$

Si $card E = n$ et $card F = p$ alors

Le nombre d’applications différentes de $E$ dans $F$ est $p^n$
Le nombre d’injections de $E$ dans $F$ est $p(p-1)…(p-(n-1))$
Le nombre de bijections de $E$ dans $F$ est $n!=p!$

MONOTONIE

La somme de deux fonctions (dé)croissantes est une fonction (dé)croissante.
Le produit de deux fonctions croissantes et positives est une fonction croissante.
La composée de deux fonctions croissantes ou de deux fonctions décroissantes est une fonction croissante.
La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est une fonction décroissante.
Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective.

COURBES REPRÉSENTATIVES ET SYMÉTRIE

Soit une fonction $f$ dont la courbe représentative est $C_f$ .

La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de $C_f$ si et seulement si $\forall x \in D_f, f(a+x)=f(a-x)$ .
Le point de coordonnées $(a,b)$ est un centre de symétrie de $C_f$ si et seulement si $\forall x \in D_f, f(a+x)+f(a-x)=2b$ .

Dit autrement : on définit les fonctions suivantes : $\qquad g : x \longrightarrow f(x+a) \qquad \qquad h : x \longrightarrow f(x+a)-b$

La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de $C_f$ si et seulement si la fonction $g$ est paire.
Le point de coordonnées $(a,b)$ est un centre de symétrie de $C_f$ si et seulement si la fonction $h$ est impaire.

LIMITES

$\text{Soient} f : I \longrightarrow \mathbb{R} \qquad a \in \bar{I} \quad \lim_{x \to a} f(x)= l$

Si $l \in \mathbb{R}$ alors f est bornée au voisinage de a. Si de plus l est non nul alors f garde le signe de l et ne s’annule pas au voisinage de a.

Si $l = +\infty$ alors f est strictement positive et non majorée au voisinage de a.

$\lim_{x \to a} g(x)= 0 \qquad \text{ et } \qquad \lvert f(x) - l \rvert \le g(x) \qquad \text{ alors } \qquad \lim_{x \to a} f(x) = l$

Théorème de la limite monotone : f définie et monotone sur $]a,b[ \subset \bar{\mathbb{R}}$ alors $\forall c \in ]a,b[$ , f admet une limite à gauche et à droite en c.

LIMITES USUELLES

$\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1} = 1 \qquad \qquad \lim_{x \to 0+} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 1 \qquad \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$

$a > 1, b > 0, c > 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{a^x}{x^b} = +\infty \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^b}{\ln^c x} = +\infty$

$a > 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^a}{e^x} = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^a} = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to -\infty} \lvert x \rvert ^a e^x = 0 \qquad \qquad \lim_{x \to 0+} x^a \ln(x) = 0$

Asymptotes et branches paraboliques :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= a \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x)-ax = b \qquad \text{alors} \qquad y=ax+b \qquad \text{est une asymptote de } f.$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty \qquad \text{alors f admet une branche parabolique horizontale}$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}= a \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) - ax = \pm\infty \qquad \text{alors f admet une branche parabolique parallèle à }y=ax$

Remarque : les réciproques de ces trois implications sont vraies.

CONTINUITÉ

Continuité et limite de suite.
Soit $a$ adhérent à $D_f$ .

$\lim_{x \to a}f(x) = l \iff \text{ Pour toute suite } (x_n) \text{ de } D_f \text{ convergeant vers }a, (f(x_n)) \text{ converge vers }f(a).$

$f \text{ est continue en }a \iff \text{ Pour toute suite }(x_n) \text{ de } D_f \text{ convergeant vers }a, (f(x_n)) \text{ converge vers }f(a).$

Théorème de Bolzano : $f$ continue sur $[a,b], f(a)f(b)<0 \implies \exists c \in ]a,b[,f(c)=0$

Théorème des valeurs intermédiaires : $f$ continue sur $I,[a,b] \subset I$ et soit $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors $\exists c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$ . Le nombre $c$ est unique si $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$ .

Théorème de Weierstrass : $f$ continue sur $I, [a,b] \subset I$ . Alors $\exists (c_1,c_2) \in [a,b]^2$ tels que $\forall x \in [a,b], f(c_1) \le f(x) \le f(c_2)$ . Autrement dit, toute fonction continue sur un intervalle y est bornée et atteint ses bornes.

Conséquence : l’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.

Autres propriétés :

Si l’image d’un intervalle par une fonction monotone est un intervalle, alors la fonction est continue sur cet intervalle.
Une fonction injective et continue sur un intervalle est strictement monotone.

ÉQUIVALENCES

Notations de Landau

$f$ et $g$ sont des fonctions définies sur $I$ . $a \in \bar{I}$ . $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ sauf éventuellement en $a$ .

$f \text{ domin\'ee par } g \text{ en } a : \quad \dfrac{f}{g} \text{ born\'ee au voisinage de } a : \quad f(x) \underset{a}{=} O(g(x))$

$f \text{ n\'egligeable devant } g \text{ en } a : \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f}{g} = 0 : \quad f(x) \underset{a}{=} o(g(x))$

$f \text{ \'equivalent \`a } g : \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f}{g} = 1 : \quad f(x) \underset{a}{\approx} g(x)$

Équivalences

$e^x \underset{0}{\approx} 1+x \qquad \qquad \ln (1+x) \underset{0}{\approx} x \qquad \qquad \ln x \underset{1}{\approx} x-1$

$\sin x \underset{0}{\approx} x \qquad \qquad \tan x \underset{0}{\approx} x \qquad \qquad \cos x \underset{0}{\approx} 1-\dfrac{x^2}{2}$

$\arcsin x \underset{0}{\approx} x \qquad \qquad \arctan x \underset{0}{\approx} x$

Propriétés

$f_1(x) \underset{a}{\approx} f(x) \text{ et } g_1(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text{ et } f(x) \underset{a}{=} o(g(x)) \text{ alors } f_1(x) \underset{a}{=} o(g_1(x))$

$f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text { et } f \text{ est positive au voisinage de } a \text { alors } g \text{ est positive au voisinage de } a$

$f(x) \underset{a}{\approx} g(x) \text { et } f \text{ est positive au voisinage de } a \text { alors dans un voisinage de } a, g(x) > \dfrac{f(x)}{2} >= 0$