4 points cocycliques

Soient le cercle circonscrit au triangle ABC et un point D situé du même côté que C par rapport à la droite (AB). Ces quatre points seront cocycliques si \widehat{ACB}=\widehat{ADB}.

Explications :

Raisonnons par l’absurde en supposons que le point D est en dehors du cercle et que \widehat{ACB}=\widehat{ADB}.

Considérons le triangle OBD. OD > OB donc \widehat{OBD} > \widehat{ODB}.

Considérons le triangle ODA. OD > OA donc \widehat{OAD} > \widehat{ADO}.

Comme \widehat{ODB}+\widehat{ADO}=\alpha, il vient  \widehat{OBD}+\widehat{OAD}>\alpha. (1)

Considérons le triangle ABD. \widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\alpha=\pi. (2)

Or \widehat{BAD}=\widehat{OAD}+\beta et \widehat{ABD}=\widehat{OBD}+\beta.

De (2) il vient \widehat{OAD}+\widehat{OBD}+\alpha+2\beta=\pi.

En utilisant (1), on obtient \pi > 2\alpha + 2\beta. Or, en considérant le triangle OAB, 2\alpha = \widehat{AOB} et 2\alpha + 2\beta = \pi.

On aboutit à une conclusion impossible donc D appartient au cercle passant par A, B et C.

On peut aussi supposer que D est à l’intérieur du cercle et développer le même genre de raisonnement par l’absurde.

Corollaire : Soient le cercle circonscrit au triangle ABC et un point D situé du côté opposé à C par rapport à la droite (AB). Ces quatre points seront cocycliques si \widehat{ADB}=\pi - \widehat{ACB}.

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