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Théorème de Ceva

Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d’un triangle soient concourantes :

1ère partie : Supposons que les droites (AD), (BE) et (CF) soient concourantes en un point M.

Les triangles MDB et MDC ont la même hauteur de longueur h. Donc AireMDB = h x DB / 2 et AireMDC = h x DC / 2. On écrit le rapport des deux aires : AireMDB / AireMDC = DB / DC.

La même démarche pour les triangles ADB et ADC donne : AireADB / AireADC = DB / DC.

Or AireMDB = AireADB – AireMDB et AireMAC = AireADC – AireMDC. On en déduit après un calcul rapide que AireMAB / AireMAC = DB / DC.

On démontrerait de la même manière que :

  • AireMBC / AireMAB = EC / EA
  • AireMBC / AireMAC = FA / FB

Le produit des trois rapports des aires donne 1 donc DB/DC x EC/EA x FA/FB = 1

2ème partie : supposons que DB/DC x EC/EA x FA/FB = 1

Supposons par ailleurs que (AD) et (BE) se coupent en un point M et que la droite (CF’) passe aussi par M. Montrons alors que F = F’.

Puisque les droites (AD), (BE) et (CF’) sont concourantes en M, nous avons le rapport : DB/DC x EC/EA x F’A/F’B = 1 = DB/DC x EC/EA x FA/FB. En simplifiant il obtient l’égalité : F’A / F’B = FA / FB. Ce qui permet de conclure que F = F’.

Vérifions cela :

F’A / F’B = FA / FB alors F’A x FB = FA x F’B donc F’A x (AB – AF) = FA x (AB – AF’). On développe et on simplifie par F’A x AF, puis par AB, il reste : AF = AF’ donc F = F’.