Théorème de Ptolomée

Étant donné un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales, soit : AB \times CD + BC \times DA = AC \times BD.

Explications :

On place le point I sur [AC] tel que \widehat{CBD}=\widehat{IBA}. Voir Copie d’un angle.

Par ailleurs \widehat{BAC}=\widehat{CBD} car ses angles interceptent le même arc de cercle BC.

Par conséquent les triangles ABI et BCD sont semblables.

Donc \dfrac{IA}{CD}=\dfrac{AB}{BD}, soit IA \times BD = AB \times CD. (1)

\widehat{CBD}=\widehat{IBA} donc \widehat{CBD} + \widehat{DBI} = \widehat{DBI} + \widehat{IBA}, soit \widehat{CBI} = \widehat{DBA}.

Par ailleurs \widehat{ABC}=\widehat{ADB} car ses angles interceptent le même arc de cercle AB.

Par conséquent les triangles ABD et BCI sont semblables.

Donc \dfrac{IC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}, soit IC \times BD = AD \times BC. (2)

On additionne (1) et (2) : IC \times BD + IA \times BD = AD \times BC + AB \times CD,

soit (IC + IA) \times BD = AD \times BC + AB \times CD,

c’est à dire AC \times BD = AD \times BC + AB \times CD.

Claude Ptolémée (100 – 168) : astronome et mathématicien grec d’Égypte.

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