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Parallélogrammes de même aire découpés dans un parallélogramme

Parallélogrammes de même aire découpés dans un parallélogramme

La diagonale d’un parallélogramme et deux droites parallèles à deux cotés du parallélogrammes et sécantes ensemble avec la diagonale, construisent deux parallélogramme de même aire. Dans la figure ci-contre les parallélogrammes FEAG et FICH ont la même aire. Explications : La diagonale (DB) coupe ABCD en deux triangles ABD et DBC de même aire : […]

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Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle

Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle

Soit un triangle ABC et un angle . On veut construire un parallélogramme DEFG dont l’un des angles est et dont l’aire est égale à celle du triangle ABC. Construction : On trace sur la droite (AB) un segment [DE] de longueur . On trace la droite parallèle à (AB) et passant par G. Elle […]

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Lunules d’Hippocrate

Lunules d’Hippocrate

Une lunule est une figure plane en forme de croissant délimitée par deux arcs de cercle. Hippocrate a démontré que la somme des aires des deux lunules construites à partir d’un triangle rectangle est égale à l’aire de ce triangle. Explications : D’après le théorème de Pythagore, la somme des aires des deux demi-disques construits […]

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Pentagone

Pentagone

Voici comment construire un pentagone régulier inscrit dans un cercle. Un pentagone régulier est un pentagone dont les cinq côtés ont la même longueur et les cinq angles intérieurs la même mesure : On trace , le cercle de centre O et de longueur 1. Cette valeur arbitraire est choisie pour simplifier les calculs mais […]

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Triangle d’argent

Triangle d’argent

Un triangle d’argent est un triangle isocèle dont les deux côtés de même longueur mesurent et le troisième côté mesure tels que , le nombre d’or. On démontre que les angles d’un triangle d’argent mesurent 36°, 36° et 108°. Explications : . Or nous savons que (Voir cosinus de 36°). On peut en conclure que […]

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Triangle d’or

Triangle d’or

Un triangle d’or est un triangle isocèle dont les deux côtés de même longueur mesurent et le troisième côté mesure tels que , le nombre d’or. On démontre que les angles d’un triangle d’or mesurent 72°, 72° et 36°. Explications : . Or nous savons que (Voir cosinus de 36°) et que . Donc . […]

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Nombre d’or et triangle équilatéral

Nombre d’or et triangle équilatéral

Étant donné un triangle équilatéral ABC, D et E les milieux respectifs des côtés [AC] et [CB], G et F les points d’intersection de la droite (DE) et du cercle circonscrit à ABC, on démontre que le quotient est égal au nombre d’or. Explications : On calcule de deux manières différentes la puissance de E […]

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Le nombre d’or

Le nombre d’or

Le nombre d’or, , est le coefficient de proportionnalité entre deux grandeurs et choisies de la manière suivante : On montre que , soit environ 1,618. Construction : On trace un segment [OA] de longueur arbitraire , On place le milieu M de [OA], On trace la perpendiculaire à (OA) passant par A, On trace […]

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Cosinus et sinus de 36°

Cosinus et sinus de 36°

On démontre que et que . Explications : On sait que et que On utilise la formule de Moivre : . On développe le membre de gauche de cette égalité en ne conservant que sa partie imaginaire qui doit être égale à : . En posant et , cette équation s’écrit : . Comme a n’est […]

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Théorème de Ptolomée

Théorème de Ptolomée

Étant donné un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales, soit : . Explications : On place le point I sur [AC] tel que . Voir Copie d’un angle. Par ailleurs car ses angles interceptent le même arc de cercle […]

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