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Lieu des points dont les distances à deux droites sont dans un rapport constant

Étant donnés deux droites d_1 et d_2 sécantes en O et un nombre réel positif k, le lieu géométrique des points dont les distances à ces deux droites sont dans un rapport constant k, est constitué de la réunion de deux droites (OM) et (OP).

on a \dfrac{MB}{MA} = \dfrac{PF}{PE} = k.

 

 

 

Construction :

  • On trace la droite d_3, parallèle de d_1 à une distance de 1 unité de d_1 ;
  • On trace la droite d_4, parallèle de d_2 à une distance k de d_2.
  • M, point d’intersection de d_3 et d_4 est par construction l’un des points recherchés.
  • La droite (OM) est le lieu recherché.

L’autre droite (OP) s’obtient de manière similaire en traçant la droite symétrique de d_3 par rapport d_1.

Explications :

Soient N un point de la droite (OM), C et D les projections orthogonales respectives de N sur d_1 et d_2.

On va appliquer le théorème de Thales au triangles NCO et NDO :

\dfrac{ND}{MB} = \dfrac{NO}{MO} et \dfrac{NC}{MA} = \dfrac{NO}{MO}

Donc : \dfrac{ND}{MB} = \dfrac{NC}{MA}, soit \dfrac{ND}{NC} = \dfrac{MB}{MA} = k.

La démonstration pour (OP) s’obtient de manière similaire. On vient donc de démontrer que tous les points de (ON) et de (OP) conviennent.

Sont-ils les seuls ?

Soient deux points distincts M et N tels que \dfrac{ND}{NC} = \dfrac{MB}{MA} = k, ou ce qui est équivalent que \dfrac{ND}{MB} = \dfrac{NC}{MA} = k

Soient O1 le point d’intersection de (MN) avec (OC), et O2 le point d’intersection de (MN) avec (OD). On va montrer que O1 et O2 sont confondus avec O.

Les triangles O1MA et O1NC sont semblables donc \dfrac{O_1N}{O_1M} = \dfrac{NC}{MA}.

Les triangles O2MB et O2ND sont semblables donc \dfrac{O_2N}{O_2M} = \dfrac{ND}{MB}.

Comme \dfrac{ND}{MB} = \dfrac{NC}{MA}, il vient \dfrac{O_1N}{O_1M} = \dfrac{O_2N}{O_2M}.

Comme M et N sont distincts, les points O1 et O2 sont confondus avec O. Par conséquent, le point N appartient à la droite (OM).

Remarque : Pourquoi les points O1 et O2 sont confondus si \dfrac{O_1N}{O_1M} = \dfrac{O_2N}{O_2M}.

\dfrac{O_1N}{O_1M} = \dfrac{O_2N}{O_2M} alors O_1N \times O_2M = O_1M \times O_2N.

Si on prend N comme origine du repère de la droite (NM), on obtient : O_1N \times (O_2N - MN) = (O_1N - MN) \times O_2N.

Après développement et simplification, il vient : O_1N = O_2N, ce qui achève de prouver que les points O1 et O2 sont confondus.