Les triangles – première partie

I – Inégalité triangulaire

Nous connaissons l’affirmation « Le plus court chemin reliant deux points est la ligne droite. » Celle-ci est une conséquence d’une propriété appelée, l’inégalité triangulaire.

Propriété
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

  • AB < AC + CB
  • AC < AB + BC
  • BC < BA + BC
Propriété
Dans le cas limite où le triangle est aplati, le point B appartient au segment [AC]. Alors l’inégalité devient une égalité : AC = AB + BC.

On peut utiliser cette propriété pour démontrer que trois points sont alignés : Si trois points A, B et C sont tels que AC = AB + BC alors B appartient au segment [AC], c’est-à-dire que les points A, B et C sont alignés dans ce sens.

II – Construction d’un triangle

1) connaissant les longueurs de ses trois côtés

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, LM = 5 cm et KM = 4,5 cm.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. Le point M est à 5 cm du point L : il appartient donc au cercle de centre L et de rayon 5 cm. Le point M est à 4,5 cm du point K : il appartient donc au cercle de centre K et de rayon 4,5 cm. Le point M est le point d’intersection des deux arcs.

2) Connaissant la longueur d’un côté et la mesure de deux angles ayant ce côté en commun

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, l’angle \widehat{LKM} = 40° et l’angle \widehat{KLM}= 60°.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. On trace une demi-droite de sommet K et faisant un angle de 40° avec (KL). On trace une demi-droite de sommet L et faisant un angle de 60° avec (KL).

L’intersection des demi-droites est le point M, troisième sommet du triangle.

3) Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle délimité par ses deux côtés

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, KM = 4,5 cm et l’angle \widehat{LKM} = 80°.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. On trace une demi-droite de sommet K et faisant un angle de 80° avec (KL). On trace un cercle de centre K et de rayon 4,5 cm.

L’intersection du cercle et de la demi-droite est le point M, troisième sommet du triangle.

III – Hauteurs et aire d’un triangle

Définition
Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un des sommets du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Un triangle possède trois hauteurs, chacune passant par un de ses trois sommets.

Exemples :
Propriété
Soient un triangle ABC et H le point d’intersection de la hauteur issue de A et du côté opposé [BC]. L’aire du triangle est le demi-produit de AH par BC.

Si on choisit la hauteur issue de B, il faut faire le calcul de l’aire avec le côté opposé à B qui est [AC].

Exemple : Dans le triangle ABC de la figure de droite, le segment [AH] mesure 2 cm et le côté [BC] a une longueur de 4 cm.

Pour calculer l’aire du triangle, on effectue les deux opérations suivantes :

  1. AH \times BC = 2 \times 4 = 8
  2. On divise le produit obtenu par 2 : 8 \div 2 = 4

Conclusion : l’aire du triangle est  4 cm2.

Remarque : La démonstration de cette propriété sera proposée dans le chapitre sur les parallélogrammes.

EXERCICES

  • 1, 3 page 117 – existence de triangles
  • 8 page 117 – hauteurs
  • 17 page 118 – existence triangles
  • 18 page 118 – alignement
  • 20 page 118 – existence quadrilatère
  • 22 page 119 – existence triangles
  • 66, 68 page 124 – aire
  • 71 page 125 – distance
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