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Les fractions – Seconde partie

I – Fraction quotient

Règle
Soient a et b deux nombres entiers, avec b \ne 0. La fraction \dfrac{a}{b} est le quotient de a par b. C’est-à-dire que \dfrac{a}{b} = a \div b;
Propriété
Tout nombre décimal (et donc également tout nombre entier) admet une écriture fractionnaire.

Exemples :

    \[ 3,14 = \dfrac{314}{100} \qquad 0,5 = \dfrac{1}{2} \qquad 0,75 = \dfrac{3}{4} \]

Les fractions \dfrac{5}{4}, \dfrac{18}{12}, \dfrac{12}{10} ou \dfrac{7}{5} sont des nombres décimaux car on finit par obtenir un reste nul dans la division du numérateur par le dénominateur.

ATTENTION : Un nombre en écriture fractionnaire n’est pas forcément un nombre décimal.

Exemples :

    \[ \dfrac{1}{3} = 0,333 \dots \qquad \dfrac{30}{22} = 0,333 \dots \]

1,36 est une valeur approchée au centième de la fraction \dfrac{30}{22}.

II – Fractions égales

Propriétés

Soient a , b et k des nombres, avec b \ne 0 et k \ne 0.

  • Une fraction ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}
  • Une fraction ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

Exemple : Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Elles correspondent à trois fractions qui sont égales.

\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3} \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6} \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}

 

III – Simplification de fraction

Définition
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.

Une fraction que l’on ne peut plus simplifier est dite irréductible.

Exemple : On va simplifier le plus possible la fraction \dfrac{48}{60}

Pour simplifier cette fraction, on cherche des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

    \[ \dfrac{48}{60} = \dfrac{2 \times 24}{2 \times 30} = \dfrac{24}{30} = \dfrac{2 \times 12}{2 \times 15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{3 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{4}{5} \]

\dfrac{4}{5} n’est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C’est la fraction la plus simple égale à \dfrac{48}{60}.

IV – Multiplication d’un nombre par une fraction

Règle
Pour multiplier un nombre a par une fraction  \dfrac{b}{c} avec c \ne 0, on peut :

• calculer le quotient de b par c puis multiplier le résultat par a ;

• ou calculer le produit a par b puis diviser le résultat par c ;

• ou calculer le quotient a par c puis multiplier le résultat par b.

Remarque : Peu importe la méthode, on divise toujours par le dénominateur de la fraction.

Exemple : Calcul de 45 \times \dfrac{4}{5}

45 \times \dfrac{4}{5} = 45 \times (4 \div 5) = 45 \times 0,8 = 36 Cette méthode est intéressante quand la fraction est un nombre décimal.
45 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{45}{5} \times 4 = (45 \div 5) \times 4 = 9 \times 4 = 36 Cette méthode est intéressante quand la division tombe juste (résultat entier ou décimal).
45 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{45 \times 4}{5} = \dfrac{180}{5} = 180 \div 5 = 36 Cette méthode fonctionne toujours mais n’est pas forcément la plus rapide.

 

ATTENTION : On n’obtient pas toujours un nombre décimal. Par exemple : 4 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}

Règle
Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier la fraction par cette quantité.

Exemple : Amélie a dépensé les cinq septièmes de ses économies qui s’élevaient à 14,70 € Combien a-t-elle dépensé ?

Calculer les cinq septièmes de 14,70 €, c’est multiplier \dfrac{5}{7} par 14,70 € : \dfrac{5}{7} \times 14,7 = \dfrac{14,7}{7} \times 5 = 2,1 \times 5 = 10,5. Amélie a donc dépense 10,50 €.

V – Pourcentage

Les pourcentages sont très utiles pour exprimer des proportions, des augmentations ou des diminutions. On les rencontre partout : pourcentage de globules blancs dans le sang, sondages d’opinion, pourcentage de chômage, pourcentage de gaz carbonique dans l’atmosphère, pourcentage de services gagnants au tennis,… Vous en aurez souvent besoin.

1) Calcul à partir d’un pourcentage

Règle
Calculer x \% d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par \dfrac{x}{100}.

Exemple : 36 % des 425 élèves d’un collège sont externes. Combien y a-t-il d’élèves externes ?

Pour calculer le nombre d’externes, on calcule 36 % de 425 : \dfrac{36}{100} \times 425 = \dfrac{36 \times 425}{100} = \dfrac{15 \: 300}{100} = 135. Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège.

2) Pourcentages particuliers

Prendre 10 % d’un nombre, c’est en prendre le dixième. Car \dfrac{10}{100} = \dfrac{10 \times 1}{10 \times 10} = \dfrac{1}{10}.

Prendre 50 % d’un nombre, c’est en prendre la moitié. Car \dfrac{50}{100} = \dfrac{50 \times 1}{50 \times 2} = \dfrac{1}{2}.

Prendre 25 % d’un nombre, c’est en prendre le quart. Car \dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac{1}{4}.

Prendre 75 % d’un nombre, c’est en prendre les trois quarts. Car \dfrac{75}{100} = \dfrac{25 \times 3}{25 \times 4} = \dfrac{3}{4}.

Prendre 100 % d’un nombre, c’est en prendre la totalité. Car \dfrac{100}{100} = 1.