Épidémie

Le modèle SIR et le nombre de reproduction de base R0

L’un des plus vieux modèles mathématiques des épidémies est celui de Reed – Frost ( 1929 ). Il est simpliste mais il permet d’introduire des notions essentielles et d’obtenir une formule mathématique importante. Les individus sont de trois types :

  • S ( comme « susceptibles » d’être infectés ),
  • I ( comme « infectés et infectieux », capables d’infecter un individu susceptible ), et
  • ( comme « remis » ou « retiré », soit guéri, soit mort ).

Dans ce modèle, le temps t est discret et représente par exemple un nombre de semaines. La taille n de la population est supposée « grande ». Au début du modèle, la population comporte :

  • n – 1 individus de type S,
  • 1 de type I et
  • 0 de type R.

Un individu qui est infecté une semaine infecte chaque susceptible avec la probabilité p la semaine suivante, puis guérit. L’épidémie se poursuit tant qu’il y a des infectés, puis elle s’arrête. Pour simplifier, on néglige la phase d’incubation, et on suppose qu’un individu de type R, s’il n’est pas mort ( ce qui heureusement est le cas de l’immense majorité des R ), est immunisé.

Le nombre de reproduction de base R0 est le nombre moyen de susceptibles qu’un individu I infecte « au début de l’épidémie », lorsque presque toute la population est susceptible. Combien vaut R0 ? Prenons n = 1 000 et p = 0,0025. Le premier infecté a, autour de lui, n – 1 ( soit environ 1 000 ) individus susceptibles. Puisqu’il infecte chacun d’eux avec la probabilité p, R0 vaut
( environ ) n × p, soit 2,5.

Si R0 < 1, il n’y aura pas d’épidémie majeure avec un petit nombre d’infectés initiaux. De même si R0 = 1. Par contre, si R0 > 1, un seul infecté initial peut déclencher une épidémie majeure ( qui touche une fraction importante de la population ).

La fraction de la population qui sera touchée

Une question importante est d’estimer la fraction de la population totale qui sera touchée par l’épidémie. Si l’on admet qu’une personne guérie est immunisée, l’épidémie va s’arrêter tôt ou tard, au pire quand tout le monde aura été contaminé, et sera guéri et immunisé ( un petit pourcentage étant mort ). Mais dans la réalité tout le monde n’est pas touché. Lorsqu’une fraction de la population est immunisée, pour savoir combien de susceptibles un individu I infecte en moyenne, on multiplie p par le nombre de susceptibles. Bien avant que ce nombre ne s’annule, ce produit passe en dessous de 1, et alors
l’épidémie s’arrête.

Effectuons dix mille simulations du modèle de Reed-Frost, dans les cas R0 = 0,95 ( lorsque R0 < 1, aucune épidémie majeure n’a lieu ) et R0 = 2,5. La hauteur de chaque barre indique le nombre de simulations qui ont conduit à la
proportion d’infectés indiquée sur l’axe des abscisses. Dans le cas R0 = 2,5, une certaine fraction des simulations ( qui ne dépend pas de n ) n’aboutissent pas à une épidémie majeure, tandis que la proportion d’individus infectés dans le cas d’une épidémie majeure se concentre quand n augmente autour d’une certaine valeur ( laquelle augmente avec R0 ).

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