Calcul littéral

I. INITIATION AU CALCUL LITTÉRAL

1) Écriture d’une expression littérale

Définition :

Une expression littérale est une expression comportant des lettres appelées variables, qui représentent des nombres.

Convention : Le signe $\times$ de la multiplication peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemple : Le prix de $n$ stylos à $2,7$ € l’unité s’exprime en fonction de la variable $n$ par l’expression littérale : $p = 2,7 \times n = 2,7n$

2) Calcul d’une expression littérale

On peut calculer une expression littérale si on connaît la valeur de chaque variable rencontrée dans l’expression.

Exemple : L’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donnée par la formule $A = L \times l$ . Si on sait que $L = 7$ cm et que $l = 2$ cm, alors on peut calculer l’aire du rectangle : $A = 7 \times 2 = 14$ cm².

II. DÉVELOPPER, FACTORISER, RÉDUIRE

1. Développer avec la simple distributivité

$\bigstar$ Propriété : Quels que soient les nombres $a, b, k$ , on a les égalités suivantes :

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Définition :

Développer une expression produit, c’est la transformer en une somme ou une différence.

Exemples :

Développer l’expression $4(x+3)$ : $4(x+3) = 4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$
Développer l’expression $2(x-5)$ : $2(x-5) = 2 \times x - 2 \times 5 = 2x - 10$

2. Factoriser une somme ou une différence

Définition :

Factoriser une expression somme ou différence, c’est la transformer en un produit de plusieurs termes appelés facteurs.

$\bigstar$ Propriété : Quels que soient les nombres $a, b, k$ , on a les égalités suivantes :

Exemples : Factoriser chacune des expressions A, B et C

$A = 7x - 14 = 7 \times x - 7 \times 2 = 7(x-2) \qquad \text{Le facteur commun est 7}$ .
$B = 6x^2 + 5x = x \times 6x + x \times 5 = x(6x+5) \qquad \text{Le facteur commun est x}$ .
$C = 6x - 3x^2 = 3x \times 2 - 3x \times x = 3x(2-x) \qquad \text{Le facteur commun est 3x}$ .

3) Réduire une expression sans parenthèses

Définition :

Réduire une expression, c’est l’écrire plus simplement en diminuant le nombre de termes.

Remarque : La factorisation permet de réduire certaines expressions.

Exemples :

$5x + 7x = (5 + 7)x = 12x$
$9y - 3y = (9 - 3)y = 6y$
$3a - 8 - 10a + 2 = 3a - 10a - 8 + 2 = (3 - 10)a - 6 = -7a - 6$

4) Réduire une expression avec parenthèses

$\bigstar$ Propriété : Pour réduire une expression avec parenthèses, on doit d’abord supprimer les parenthèses avant de changer les termes de place.

Si un signe “plus” précède les parenthèses, alors on supprime le signe “plus” et les parenthèses, et on écrit tels quels les termes qui étaient entre parenthèses.
Si un signe “moins” précède les parenthèses, alors on supprime le signe “moins” et les parenthèses, et on écrit l’opposé de chaque terme situé entre parenthèses.

Exemple : réduire l’expression $A = 2(3x+8)-(4x-5) = 2 \times 3x + 2 \times 8 - 4 \times x + 5 = 6x - 4x + 16 + 5 = 2x + 21$

5) Double distributivité :

$\bigstar$ Propriété : Quels que soient les nombres $a, b, c, d$ , on a l’égalité suivante :

Exemple : Développer et réduire $A = (3x + 5)(2x + 9)$

on utilise la propriété de la double distributivité : $A = 3x \times 2x + 3x \times 9 + 5 \times 2x + 5 \times 9$
On effectue chacun des quatre produits : $A = 6x^2 + 27x + 10x + 45$
On réduit : $A = 6x^2 + 37x + 45$